Hans Walser, [20200714]

Logarithmische Kantenmittenspiralen

Anregung: M. E., B.

1     Worum geht es?

Logarithmische Kantenmittenspiralen, welche sich in zyklischer Folge ein- und umbeschrieben sind.

2     Einstiegsbeispiel

Wir beginnen mit einem regelmŠ§igen Achteck (Abb. 1.1a). Jede zweite Kante ist farbig angemalt, im positiven Drehsinn in den Farben rot, gelbgrźn, hellblau und violett.

Abb. 1.1: Start und erster Schritt

Nun verbinden wir das im positiven Drehsinn zweite Ende der roten Startstrecke mit dem Mittelpunkt der gelbgrźnen Strecke (Abb. 1.1b). Diese Verbindung zeichnen wir rot. Sie ist deutlich lŠnger (139.897%) als die rote Startstrecke. Analog verbinden wir das Ende der gelbgrźnen Startstrecke mit dem Mittelpunkt der hellblauen Strecke. Ebenso verfahren wir mit hellblau und violett.

Die Abbildung 1.2 zeigt die beiden nŠchsten Schritte. Wir sehen, dass die LŠngen der neuen Strecken keinem erkennbaren Muster folgen. Auch die Winkel zwischen aufeinanderfolgenden Strecken gleicher Farbe variieren.

Aus Symmetriegrźnden sind die Spiralen der verschiedenen Farben kongruent.

Abb. 1.2: Schritte drei und vier

In der Abbildung 1.3 sehen wir zwei weitere Schritte.

Abb. 1.3: Weitere Schritte

Die Tabelle 1 gibt fźr eine Spirale (die rote) die LŠngen-VerŠnderungsfaktoren zweier aufeinanderfolgender Strecken sowie deren RichtungsŠnderung (Au§enwinkel).

Lesebeispiel: Beim †bergang vom der ersten zur zweiten Strecke haben wir einen LŠngen-VerŠnderungsfaktor 1.398966326. Die zweite Strecke misst also etwa 139.897% der ersten. Sie weicht um einen Winkel von 59.63880658ˇ im positiven Drehsinn von der ersten ab. In der Abbildung 1.1b sind diese Daten eingetragen.

 

Schritt

VerŠnderungsfaktor

RichtungsŠnderung [ˇ]

2

1.398966326

59.63880658

3

0.7472553970

65.62558310

4

0.9868422493

51.85877233

5

0.9053338153

63.88612868

6

0.8933681725

56.28259906

7

0.9348357449

60.13327190

8

0.8957770916

58.81640314

9

0.9222644246

58.81688762

10

0.9080905470

59.28576014

11

0.9134508382

58.78697287

12

0.9128420468

59.14692518

13

0.9115486769

58.94540429

14

0.9131407453

59.02933253

15

0.9119194226

59.01302936

16

0.9126400202

59.00003050

17

0.9123162402

59.01969206

18

0.9123995417

59.00353121

19

0.9124279882

59.01357631

20

0.9123677718

59.00875429

Tab. 1: VerŠnderungsfaktoren und RichtungsŠnderungen

Sowohl die LŠngen-VerŠnderungsfaktoren als auch die RichtungsŠderungen variieren am Anfang recht stark. Wir vermuten aber, dass sich diese Daten bei zunehmenden Schrittzahlen je einem Grenzwert annŠhern.

Die Abbildung 2 zeigt stark vergrš§ert den Ausschnitt fźr die Schrittzahlen von 15-20. Die Spiralen sehen aus wie logarithmische Spiralen mit konstantem LŠngen-VerŠnderungsfaktor und konstanter RichtungsŠnderung.  

Abb. 2: Schritte 15-20

3     Berechnung der Grenzwerte

Wir gehen von vier logarithmischen Kantenmittenspiralen aus und betten diese in die Gau§sche Ebene der komplexen Zahlen ein (Abb. 3).

Abb. 3: Arbeitsfigur

Die Schlźsselzahl ist die Zahl z. Ihr Betrag ist der gesuchte konstante LŠngen-VerŠnderungsfaktor, ihr Argument die gesuchte konstante RichtungsŠnderung. Aus der Arbeitsfigur (Abb. 3) lesen wir fźr z die Bedingung ab:

 

                                                                                                               (1)

 

 

 

Diese quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten hat fźr z die beiden Lšsungen:

 

                               (2)

 

 

 

 

Man beachte, dass die beiden Lšsungen nicht konjugiert komplex sind, da die quadratische Gleichung (1) komplexe Koeffizienten enthŠlt.

Die fźr uns relevante erste Lšsung hat den Betrag

 

                                 (3)

 

 

 

 

und das Argument:

 

                                                (4)

 

 

 

Diese Daten passen zu unseren Vermutungen auf Grund der Tabelle 1.

Die Abbildung 4 zeigt die vier zugehšrigen logarithmischen Kantenmittenspiralen.

Abb. 4: Logarithmische Kantenmittenspiralen

4     Allgemein

Fźr n Spiralen fźhrt die analoge †berlegung fźr die Schlźsselzahl z zur Bedingung:

 

                                                                                                     (5)

 

 

 

Diese quadratische Gleichung hat die beiden Lšsungen:

 

          (6)

 

 



Die Tabelle 2 gibt die ersten BetrŠge (LŠngen-VerŠnderungsfaktoren) und die relevanten RichtungsŠnderungen.

 

Anzahl Spiralen

VerŠnderungsfaktor

RichtungsŠnderung [ˇ]

2

0.7071067812

110.7048111

3

0.8502352679

77.52110310

4

0.9123988791

59.01008801

5

0.9430182565

47.50705136

6

0.9600982308

39.71914504

7

0.9705414372

34.11053230

8

0.9773758771

29.88337441

9

0.9820866862

26.58510972

10

0.9854686738

23.94072904

Tab. 1: VerŠnderungsfaktoren und RichtungsŠnderung

5     Beispiele

Eine Bildergalerie

5.1    Zwei Spiralen

Der VerŠnderungsfaktor ist , die RichtungsŠnderung:

 

                                                                                 (7)

 

 

 

Die Abbildung 5 zeigt die beiden Spiralen.

Abb. 5: Zwei Spiralen

Die Figur ist aus gleichschenkligen Dreiecken mit der Basis 1 und den Schenkeln  aufgebaut (Abb. 6).

Abb. 6: Aufbau aus gleichschenkligen Dreiecken

5.2    Drei Spiralen

Abb. 7: Drei Spiralen

Die Dreiecke sind jetzt nicht mehr gleichschenklig.

5.3    Vier Spiralen

Abb. 8: Vier Spiralen

5.4    Fźnf Spiralen

Abb. 9: Fźnf Spiralen

5.5    Sechs Spiralen

Abb. 10: Sechs Spiralen

 

Websites

Hans Walser: Spiralen im regelmŠ§igen Vieleck

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Spiralen_reg_Vieleck/Spiralen_reg_Vieleck.htm

Hans Walser: Kantenmittenspirale

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kantenmittenspirale/Kantenmittenspirale.htm