Hans Walser, [20171028]

Logarithmen und Fibonacci

Anregung: Jo Niemeyer, Berlin

1     Worum geht es?

Da die Fibonacci-Zahlen nŠherungsweise exponentiell wachsen, wachsen die Logarithmen davon nŠherungsweise linear. Es werden numerische und grafische Beispiele dazu gegeben.

2     Der Goldene Logarithmus

Mit  bezeichnen wir den Goldenen Schnitt (Walser 2013).

Unter dem Goldenen Logarithmus verstehen wir den Logarithmus zur Basis . Er wird wie folgt berechnet:

 

                                                                                                               (1)

 

 

Der natŸrliche Logarithmus ln(  ) in der Formel (1) kann durch irgend einen anderen Logarithmus ersetzt werden.

3     Die Lucas-Zahlen

Mit den Startwerten 1 und 3 und der Ÿblichen Fibonacci-Rekursion erhalten wir die Luccas-Zahlen:

 

                                                      1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, ...                                                 (2)

 

 

Die Tabelle 1 gibt die Lucas-Zahlen und den Logarithmus zur Goldenen Basis davon.

 

n

Ln

1

1

0.

2

3

2.283011831

3

4

2.880840183

4

7

4.043770434

5

11

4.983034810

6

18

6.006443753

7

29

6.997533430

8

47

8.000941383

9

76

8.999640321

10

123

10.00013738

11

199

10.99994754

12

322

12.00002005

13

521

12.99999236

14

843

14.00000294

15

1364

14.99999889

16

2207

16.00000044

17

3571

16.99999985

18

5778

18.00000008

19

9349

18.99999999

20

15127

20.00000003

Tab. 1: Lucas-Zahlen und Goldener Logarithmus

Wir sehen, dass sich die Goldenen Logarithmen den natŸrlichen Zahlen annŠhern. Hintergrund: Die Lucas-Zahlen kšnnen durch die Formel von Binet generiert werden:

 

                                                                                                             (3)

 

 

Der zweite Summand geht gegen null.

Die Abbildung 1 gibt die ersten zehn Treppenstufen fŸr .

Abb. 1: Treppenstufen

Die Treppe wŠchst zuerst unregelmŠ§ig, und dann immer regelmŠ§iger.

4     Die Fibonacci-Zahlen

Bei den Fibonacci-Zahlen mŸssen wir einen Korrekturterm  addieren.

 

n

Fn

1

1

0.

1.672275940

2

1

0.

1.672275940

3

2

1.440420092

3.112696032

4

3

2.283011831

3.955287771

5

5

3.344551878

5.016827818

6

8

4.321260276

5.993536216

7

13

5.330187717

7.002463657

8

21

6.326782265

7.999058205

9

34

7.328083693

9.000359633

10

55

8.327586688

9.999862628

11

89

9.327776543

11.00005248

12

144

10.32770403

11.99997997

13

233

11.32773173

13.00000767

14

377

12.32772115

13.99999709

15

610

13.32772519

15.00000113

16

987

14.32772365

15.99999959

17

1597

15.32772424

17.00000018

18

2584

16.32772401

17.99999995

19

4181

17.32772410

19.00000004

20

6765

18.32772407

20.00000001

Tab. 2: Fibonacci-Zahlen

Hintergrund: In der Binet-Formel

 

                                                                                                   (4)

 

 

mŸssen wir den Faktor  austricksen.

Allerdings wŸrde die Treppe auch ohne Korrekturterm immer gleichmŠ§iger wachsen. Wir kŠmen aber nicht gegen die natŸrlichen Zahlen.

Die Abbildung 2 gibt die ersten 10 Treppenstufen fŸr .

Abb. 2: Treppenstufen

Literatur

Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.