Hans Walser, [20170811]

LŠmpel-Wźrfel

Indirekte Anregung: H. Sch., W.

1     Definition

In einem rŠumlichen kartesischen Koordinatensystem ist ein LŠmpel-Wźrfel ein Wźrfel mit ganzzahligen Eckpunktkoordinaten und ganzzahligen KantenlŠngen (L. LŠmpel, 1865).

2     Beispiele

2.1    Beispiel 1

Die Abbildung 1 zeigt den durch die drei Vektoren

 

                                                                                                 (1)

 

aufgespannten Wźrfel. Die drei Vektoren sind paarweise orthogonal und haben je die LŠnge 3. Wir erhalten also einen LŠmpel-Wźrfel.

Der zweite und der dritte Vektor entstehen aus dem ersten durch zyklische Vertauschung.

Die Zahlen 2, 2, 1, 3 bilden ein pythagoreisches Quadrupel.

Abb. 1: LŠmpel-Wźrfel

Die Abbildung 2 zeigt die drei Risse in klassischer Manier.

Die zyklische Vertauschung zeigt sich in der Kongruenz der drei Risse.

Abb. 2: Grund-, Auf- und Seitenriss

2.2    Beispiel 2

Die drei Vektoren

 

                                                                                               (2)

 

sind paarweise orthogonal und haben die LŠnge 7. Sie spannen also ebenfalls einen LŠmpel-Wźrfel auf.

3     Allgemein

Die drei Vektoren

 

                                                                               (3)

 

sind paarweise orthogonal und haben die LŠnge . Sie spannen daher einen LŠmpel-Wźrfel auf.

Der Nachweis der OrthogonalitŠt erfolgt mit dem Skalarprodukt, die Berechnung der LŠnge mit Pythagoras.

Beispiele:

Fźr n = 0 ergibt sich der Einheitswźrfel des kartesischen Koordinatensystems.

Fźr n = 1 erhalten wir das Beispiel (1) (Abb. 1 und 2).

Fźr n = 2 erhalten wir das Beispiel (2).

Offene Frage: Erhalten wir mit  und den Formeln (3) alle LŠmpel-Wźrfel?

4     Pythagoreische Quadrupel

Die vier Zahlen

 

                                                                                                 (4)

 

bilden ein pythagoreisches Quadrupel. Es ist:

 

                                                                          (5)

 

Frage: Erhalten wir mit  und den Formeln (5) alle pythagoreischen Quadrupel?