Hans Walser, [20150117]

k-nomialkurven

1     Worum geht es?

Die Polynome, welche zu den Bi-, Tri, ... , k-nomialkoeffizienten fŸhren, werden als Funktionsterme gedeutet und die zugehšrigen Grafen geplottet.

Die k-nomialkoeffizienten ergeben sich als Koeffizienten von:

 

 

 

Die k-nomialkurven sind die Funktionsgrafen von.

 

 

 

2     Binomialkurven

Die Binomialkoeffizienten kšnnen als Koeffizienten von  generiert werden:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Die Abbildung 1 zeigt nun die Grafen der Funktionen  fŸr . FŸr gerade n sind die Kurven rot, fŸr ungerade n blau gezeichnet.

Abb. 1: Binomialkurven

3     Trinomialkurven

Die Binomialkoeffizienten kšnnen als Koeffizienten von  generiert werden:

 

 

 

 

 

 

Die Rekursion ist offensichtlich. Jede Zahl  ist die Summe der drei nŠchstgelegenen Zahlen in der oberen Reihe.

Die Abbildung 2 zeigt nun die Grafen der Funktionen  fŸr . FŸr gerade n sind die Kurven rot, fŸr ungerade n blau gezeichnet.

Abb. 2: Trinomialkurven

4     Tetranomialkurven

(Ich frage mich, ob die griechischen Zahlwšrter hier angebracht sind.)

 

 

 

 

 

Jede Zahl ist die Summe der vier nŠchstgelegenen Zahlen in der oberen Reihe.

Abb. 3: Tetranomialkurven

Der rote und der blaue Punkt links haben die x-Koordinate (CAS):

 

 

5     Pentanomialkurven

 

 

 

 

Abb. 4: Pentanomialkurven

6     Hexanomialkurven

 

 

 

 

 

Abb. 5: Hexanomialkurven

Der rote und der blaue Punkt links haben die x-Koordinate (CAS)  .

 

7     Heptanomialkurven

Abb. 6: Heptanomialkurven

8     Oktanomialkurven

Abb. 7: Oktanomialkurven

9     ParitŠtsunterschiede

FŸr ungerades k verlaufen die Kurven oberhalb der x-Achse und durch die beiden Punkte (0, 1) und (–1, 1).

Die Abbildung 8 zeigt die Situation fŸr k = 49.

Abb. 8: k = 49

FŸr gerades k ist die Sache spannender. Alle Kurven verlaufen durch (0, 1), und bis auf die Kurve fŸr n = 0 durch (–1, 0). Dir Kurven fŸr gerades n verlaufen durch einen Punkt mit einer x-Koordinate < –1 und der y-Koordinate 1, fŸr ungerades n ist die y-Koordinate –1.

Die Abbildung 9 zeigt die Situation fŸr k = 50.

Abb. 9: k = 50

Der rote und der blaue Punkt haben die x-Koordinate: .

Diese x-Koordinaten finden sich als Lšsung der Gleichung:

 

 

Die Tabelle 1 gibt die Lšsungen (CAS) fŸr k = 2, 4, ... , 50.

 

k

x-Koordinate

2

–2

4

–1.353209965

6

–1.214862322

8

–1.154423057

10

–1.120528255

12

–1.098836878

14

–1.083763094

16

–1.072679116

18

–1.064185914

20

–1.057470136

22

–1.052026651

24

–1.047525179

26

–1.043740659

28

–1.040514435

30

–1.037731451

32

–1.035306233

34

–1.033173957

36

–1.031284569

38

–1.029598804

40

–1.028085427

42

–1.026719281

44

–1.025479877

46

–1.024350359

48

–1.023316734

50

–1.022367287

Tab. 1: x-Koordinaten