Hans Walser, [20201225]

Kuboktaeder

1     Worum geht es?

Stereografische Projektion des Kuboktaeders. Schšne Figuren

2     Stereografische Projektionen

Liniendarstellung: Wir stellen das Kuboktaeder auf eine SeitenflŠche. Das kann ein Quadrat oder ein gleichseitiges Dreieck sein. Dann nehmen wir die Umkugel des Kuboktaeders und wŠhlen den obersten Punkt (ăNordpolŇ) als Projektionszentrum. Wir projizieren auf die €quatorebene oder eine dazu parallele Ebene.

Kreisdiagramm: Die Projektion des Kuboktaeders von seinem Mittelpunkt aus auf die Umkugel (sphŠrisches Kuboktaeder) ergibt vier Gro§kreise, die sich paarweise unter dem kristallografischen Winkel

 

                                                                                         (1)

 

 

 

schneiden. Die stereografische Projektion dieser Gro§kreise ergibt vier Kreise, die sich wegen der Winkelinvarianz der stereografischen Projektion ebenfalls unter diesem Winkel schneiden.

2.1    Erste Lšsung

Wir stellen das Kuboktaeder auf eine Quadratseite (Abb. 1).

Abb. 1: Kuboktaeder auf Quadratseite

Die Abbildung 2 zeigt die entsprechende Projektion. Das oberste Quadrat erscheint au§en und dick.

Abb. 2: Stereografische Projektion

Die Abbildung 3 zeigt dasselbe in einer Liniendarstellung.

Abb. 3: Liniendarstellung

Die Figur enthŠlt ăschšneŇ Winkel (Abb. 4) und kann daher leicht planimetrisch gezeichnet werden.

Abb. 4: Winkel

Der gro§e (rot) und der kleine (gelb) Stern sind Šhnlich (Abb. 5). Der €hnlichkeitsfaktor ist:

 

                                                                                 (2)

 

 

 

Abb. 5: €hnliche Sterne

Die Figur kann daher iteriert werden (Abb. 6).

Abb. 6: Iteration

Die Figur kann mit 45ˇ-Rhomben zum regelmŠ§igen Achteck ergŠnzt werden (Abb. 7).

Abb. 7: Achteck

Die Abbildung 8 zeigt ein Kugelmodell der Projektion des Kuboktaeders vom Mittelpunkt aus auf die Umkugel (sphŠrisches Kuboktaeder). Es ist auf ein sphŠrisches Quadrat abgestellt.

Abb. 8: Kugelmodell

Die Abbildungen 9 und 10 zeigen die Entwicklung der stereografischen Projektion aus der Liniendarstellung der Abbildung 3.

Abb. 9: Entwicklung des Kreisdiagramms

Abb. 10: Stereografische Projektion

Die Abbildung 11 schlie§lich die †berlagerung mit Stern und Achteck.

Abb. 11: †berlagerung

2.2    Zweite Lšsung

Wir stellen das Kuboktaeder auf eine Dreiecksseite (Abb. 12).

Abb. 12: Kuboktaeder auf Dreiecksseite

Die Abbildung 13 zeigt die entsprechende Projektion.

Abb. 13: Stereografische Projektion

Die Abbildung 14 zeigt die Liniendarstellung. Sie wurde recht mźhsam mit Methoden der darstellenden Geometrie erarbeitet. Man beachte das regelmŠ§ige Sechseck im Innern.

Abb. 14: Liniendarstellung

Die Abbildungen 15 und 16 zeigen die Entwicklung des Kreisdiagramms aus der Liniendarstellung.

Abb. 15: Entwicklung des Kreisdiagramms

Abb. 16: Stereografische Projektion

Wir kšnnen die Kreise der Abbildung 16 und damit auch die Liniendarstellung der Abbildung 14 auch direkt planimetrisch zeichnen. Das geht wie folgt.

In ein DIN-Rechteck (Walser 2013) zeichnen wir den Kantenmittenrhombus (Abb. 17.1). Der spitze Winkel dieses Rhombus ist der kristallografische Winkel (1). Das erklŠrt die Stimmigkeit der nachfolgenden Konstruktion.

Abb. 17.1: Rhombus im DIN-Rechteck

Wir fźgen die langen Diagonalen von drei solchen Rhomben zu einem gleichseitigen Dreieck zusammen (Abb. 17.2).

Abb. 17.2: Rhombendreieck

Wir erhalten ein gleichseitiges, aber nicht gleichwinkliges Sechseck. Wir kšnnen nun die drei gro§en Kreise der Abbildung 16 zeichnen (Abb. 17.3).

Abb. 17.3: Die drei gro§en Kreise

Wir zeichnen den Mittelpunkt der Figur und passen einen Propeller aus drei gleichseitigen Dreiecken ein. So finden wir den vierten Kreis (Abb. 17.4).

Abb. 17.4: Der vierte Kreis

Literatur

Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.

 

Websites

Hans Walser: Kuboktaeder-Kantenmodell
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kuboktaeder-Kantenmodell/Kuboktaeder-Kantenmodell.htm

Hans Walser: Kugelmodelle aus Gro§kreisen
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kugelmodelle/Kugelmodelle.htm

Hans Walser: Stereografische Projektion
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Stereo_Proj_3/Stereo_Proj_3.htm