Hans Walser, [20190401]
Kreuze
ăEs is
halt a Kreiz! A Kreiz is'! O mei!Ň
(Thomas Mann, Buddenbrooks)
Ein beliebtes schulisches Tummelfeld fźr die Beweistechnik der vollstŠndigen Induktion sind AbzŠhlprobleme mit arithmetischen Folgen. Dazu ein Aprilscherz.
Die Abbildung 1 zeigt aus Kreisen aufgebaute Kreuze.
Abb. 1: Kreuze
Das Šu§erste Kreuz besteht aus 64 rotem Kreisen (nachzŠhlen!). Es ist von innen nach au§en gezŠhlt das fźnfte Kreuz.
Die Abbildung 2 illustriert den Schritt von innen nach au§en.
Abb. 2: Von innen nach au§en
Wir sehen, dass an den acht Au§enecken je ein zusŠtzlicher Kreis benštigt wird. Fźr die Anzahl der Kreise im n-ten Kreuz haben wir also einen Zuwachs von acht:
(1)
Die Abbildung 3 zeigt den umgekehrten Schritt von au§en nach innen.
Abb. 3: Von au§en nach innen
Wir haben acht doppelt belegte Kreise in den Ecken, mźssen also um acht reduzieren:
(2)
Die Formel (2) ist natźrlich mit der Formel (1) identisch. Der Induktionsschritt funktioniert in beiden Richtungen.
Aus (1) ergibt sich, dass wir es mit einer arithmetischen Folge mit dem Zuwachs acht zu tun haben. Diese hat die explizite Form:
(3)
Fźr n = 5 haben wir schon ausgezŠhlt. Damit erhalten wir aus (3):
(4)
Unsere arithmetische Folge hat also die explizite Darstellung:
(5)
Die Tabelle 1 gibt einige berechnete Werte (zweite Zeile). Diese werden mit den tatsŠchlichen Werten (dritte Zeile) verglichen.
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
berechnet |
32 |
40 |
48 |
56 |
64 |
tatsŠchlich |
17 |
40 |
48 |
56 |
64 |
Tab. 1: Berechnete und tatsŠchlich Werte
Wir sehen eine Abweichung bei n = 1. Wo steckt der Fehler?