Hans Walser, [20090324a]
Kreisumfang. Wo steckt der Fehler?
Wir rollen einen Kreis ab und verfolgen den Weg eines Punktes auf der Kreisperipherie. Die Figurenfolge illustriert den Bewegungsablauf in acht Schritten.
Start
Erster
Schritt
Zweiter
Schritt
Dritter
Schritt
Halbzeit
Fźnfter
Schritt
Sechster
Schritt
Siebter
Schritt
Uff
— geschafft
Die rote
Kurve beschreibt den Weg eines Punktes bei einer vollen Umdrehung des Rades.
Ihre LŠnge entspricht daher dem Umfang des Rades. — Stimmt das?
Bearbeitung
Stimmt
nicht. In der †berlegung wurde die VorwŠrtsbewegung des Rades au§er Acht
gelassen.
Bemerkungen
Die Kurve
hei§t Zykloide. Wenn wir mit dem Kreisradius 1
arbeiten, ist die abgerollte horizontale Strecke 
; dies ist der Kreisumfang. Die Zykloide ist offensichtlich
lŠnger.
Zykloide
Zur
Berechnung der ZykloidenlŠnge s gehen wir aus von
der Parameterdarstellung:
Damit
wird:
Nun
verwenden wir die Substitution 
und erhalten:
Die
ZykloidenlŠnge ist grš§er als der Kreisumfang. †berraschenderweise ist es eine
ganze Zahl. Der Kreisumfang ist eine irrationale Zahl.