Hans Walser, [20181206]

Kreispackung

1     Worum geht es?

Eine Kreispackung im Rechteck fźhrt zum Goldenen Schnitt.

2     Die Packung

Einem Rechteck werden fźnf Kreise einbeschrieben gemŠ§ Abbildung 1.

Abb. 1: Das Rechteck und die fźnf Kreise

Wie ist das SeitenverhŠltnis des Rechteckes? Wie gro§ sind die Kreise?

3     Bearbeitung

Wir verwenden die Ma§e und Bezeichnungen der Abbildung 2.

Abb. 2: Ma§e und Bezeichnungen

Die  roten Kreise haben den Radius 1, der kleine lila Kreis den Radius a und die beiden blauen Kreise den Radius b. Der Abstand zwischen den Mittelpunkten eines roten Kreises und dem lila Kreis wird mit x bezeichnet.

Wir erhalten fźr a, b, x das quadratische Gleichungssystem:

 

                                                                                             (1)

 

 

 

 

Das Gleichungssystem (1) hat folgende positive Lšsungen:

 

                                                                                                 (2)

 

 

 

 

Das schmeckt gewaltig nach dem Goldenen Schnitt (Walser 2013). Mit

 

                                                                                                       (3)

 

 

 

ist:

 

                                                                                                     (4)

 

 

 

 

4     Das Goldene Rechteck

Das Goldene Rechteck (Rechteck mit dem SeitenverhŠltnis des Goldenen Schnittes) lŠsst sich an mehreren Orten in die Figur einpassen (Abb. 3, 4 und 5).

Abb. 3: Goldenes Rechteck

Abb. 4: Goldenes Rechteck

Abb. 5: Goldenes Rechteck

Umgekehrt kšnnen einem Goldenen Rechteck vier Halbkreise eingepasst werden (Abb. 6).

Abb. 6: Halbkreise im Goldenen Rechteck

Die drei kleinen Halbkreise passen zum Pentagramm (Abb. 7).

Abb. 7: Pentagramm

Literatur

 

Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing źber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.