Hans Walser, [20080203a]
Kreisfiguren
1
Worum es geht
Zu 
werden 
gleich gro§e
Kreise gezeichnet, von denen jeder durch die Zentren von n anderen Kreisen verlŠuft.
2
Beispiele
2.1
n = 1
2.2
n = 2
2.3
n = 3
Eigentlich sehen wir
nur sieben Kreise, von denen einer, der zentrale Kreis, durch die Zentren der
sechs anderen Kreise verlŠuft. Wir mŸssen diesen Kreis doppelt zŠhlen und jeden
von den beiden alternierend durch die Zentren von je drei Kreisen verlaufend
denken. Wie es zu dieser eigenartigen ZŠhlweise kommt, wird spŠter erklŠrt.
2.4
n = 4
2.5
n = 5
2.6
n = 6
2.7
n = 7
2.8
n = 8
3
Hintergrund
Wir zeichnen einen n-dimensionalen HyperwŸrfel in isometrischer
Darstellung. Von jeder Ecke aus verlaufen kann n gleich stark verkŸrzte Kanten. Daher kann jeder Ecke
als Zentrum eines Kreises verstanden werden, der durch n Nachbarecken verlŠuft.
Dies im ebenen Bild. Im
n-dimensionalen Raum entsprechen den
Kreisen Hyperkugeln.
Das folgende Bild
illustriert den Fall 
.
Bei 
fallen in der
isometrischen Darstellung zwei WŸrfelecken aufeinander. Daher die DoppelzŠhlung
des ãzentralenÒ Kreises.
Dieser Effekt tritt
auch bei anderen Dimensionen auf.
Wenn wir die
WŸrfelecken weniger symmetrisch zeichnen, werden alle acht Kreise sichtbar. In
dieser Situation sind die Winkel zwischen den projizierten Kanten nicht mehr
regelmŠ§ig.
4
MuPAD-Programm
Exemplarisch das
Programm fŸr 
:
n:=4:
N:=2^n-1:
for k from 0 to N do
x[k]:=0:
y[k]:=0:
for j from 1 to n do
x[k]:=x[k]+round(frac(k*(1/2)^(n-j+1)))*cos(j*PI/n):
y[k]:=y[k]+round(frac(k*(1/2)^(n-j+1)))*sin(j*PI/n):
end_for:
end_for:
Kreis:=k->plot::Curve2d([x[k]+cos(t), y[k]+sin(t)], t=0..2*PI,
LineWidth=1/2, LineColor=[1,0,0]):
plot(Kreis(k)$k=0..N, Scaling=Constrained, Axes=None,
Width=150, Height=150):