Hans Walser, [20190402]
Kreisdichte im Streifen
Ist der relative FlŠchenanteil der Kreise konstant?
Abb. 1: Wo ist die Kreisdichte am grš§ten?
Abb. 2: Gerade und krumm
Wir berechnen einen Sektor von Kreismitte zu Kreismitte.
Abb. 3: Berechnung im Sektor. Bezeichnungen
Mit den Ma§en und Bezeichnungen der Abbildung 3 erhalten wir zunŠchst die KreisflŠche = ¹. Der blaue Ringsektor hat den …ffnungswinkel . Daraus ergibt sich fŸr den eingezeichneten Radius r:
(1)
Der blaue Ringsektor hat damit den Au§enradius r + 1 und den Innenradius r – 1. FŸr seinen FlŠcheninhalt A erhalten wir:
(2)
Wir haben weiter zwei Halbkreise, also einen Kreis mit dem Radius 1 und damit den absoluten Kreisanteil ¹. FŸr den relativen Kreisanteil ergibt sich:
(3)
Wegen fŸr positive Winkel ist die Kreisdichte fŸr solche Winkel kleiner als ¹/4. Wegen
(4)
haben wir im geraden Fall die Kreisdichte ¹/4. Die Kreisdichte ist also im geraden Fall (oberstes Beispiel in Abb. 2) am grš§ten. Dann gilt der Kalauer: je krŸmmer desto dŸnner.
Unkenntnis dieses Sachverhaltes kann zu widersprŸchlichen Angaben Ÿber die Kreiszahl ¹ fŸhren.
Im obersten und im zweitobersten Beispiel der Abbildung 2 sind die sechs roten Kreise genau gleich angeordnet. Sie liegen aber in zwei verschiedenen Streifen. Dasselbe PhŠnomen haben wir bei den beiden Streifen der Abbildung 4. Das obere Beispiel ist ãrunderÒ als das untere.
Abb. 4: Gleiche Kreisanordnung, verschiedene Streifen
TatsŠchlich gibt es zu einer gegebenen Kreisanordnung eine einparametrige Schar von Streifen. Die Konstruktion geht exemplarisch wie folgt.
Zu den gegebenen Kreisen zeichnen wir die BerŸhrungstangenten (rot in Abb. 5.1).
Abb. 5.1: BerŸhrungstangenten
Nun wŠhlen wir auf der ersten BerŸhrungstangente einen Punkt (blau) als Zentrum des ersten Sektors (Abb. 5.2). Wegen dieser Wahlmšglichkeit haben wir eine einparametrige Schar.
Abb. 5.2: Wahl des Zentrums fŸr den ersten Sektor
Anschlie§end zeichnen wir die Sektorgrenzen (blau) und den ersten Sektor.
Abb. 5.3: Erster Sektor
An jetzt haben wir einen Zwanglauf. Das Zentrum des zweiten Sektors ist der Schnittpunkt der zweiten BerŸhrungstangente mit der benachbarten Sektorgrenze des ersten Sektors (Abb. 5.4 mit Konstruktion des zweiten Sektors).
Abb. 5.4: Zweiter Sektor
Nun geht es weiter wie gehabt. Das Zentrum des dritten Sektors ist der Schnittpunkt der nachfolgenden BerŸhrungstangente mit der benachbarten Sektorgrenze (Abb. 5.5).
Abb. 5.5: NŠchster Sektor
Und schon der letzte Sektor (Abb. 5.6).
Abb. 5.6: Letzter Sektor
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Hans Walser: ¹ = 3
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pi_gleich_drei/Pi_gleich_drei.htm