Hans Walser, [20191109]
Kreis
Anregung: Zvonimir Durcevic, Wien
Abstandseigenschaften des Kreises
Der Kreis wird in der Schule gewšhnlich definiert als die Menge aller Punkte P, welche von einem gegebenen Punkt M konstanten Abstand haben:
(1)
Dabei sind M der Mittelpunkt und r der Radius des Kreises. Wir haben den Mittelpunkt als einzigen Bezugsprunkt.
Der Thaleskreis hingegen wird definiert als die Menge aller Punkte P, welche die Eigenschaft
(2)
erfźllen. Wir haben die beiden Bezugspunkte A und B.
Wir werden sehen, dass (1) und (2) SonderfŠlle eines allgemeineren Sachverhaltes sind.
Wir arbeiten mit n Punkten als Bezugspunkten. Weiter seien n Gewichte gegeben. Wir zeigen, dass die Menge aller Punkte P mit der Eigenschaft
(3)
einen Kreis definieren.
In einem kartesischen Koordinatensystem verwenden wir die Schreibweisen und . Fźr (3) erhalten wir:
(4)
Weiter verwenden wir die Abkźrzung:
(5)
Mit Hilfe von (5) lŠsst sich (4) umformen zu:
(6)
Dies ist die Gleichung eines Kreises. Dies war zu zeigen.
Der Kreis hat den Mittelpunkt M:
(7)
Der Mittelpunkt M ist also das gewichtete arithmetische Mittel der n Bezugspunkte.
Fźr den Radius r ergibt sich:
(8)
Wegen dem Minuszeichen im Radikanden von (8)
ist der Radius nicht immer reell. Die Formel (8) erinnert an die Berechnung der
empirischen Varianz.
Fźr erhalten wir den Kreis der Abbildung 1. Das war zu erwarten.
Abb. 1: Kreis mit Radius 5
Fźr (Verdoppelung des Gewichtes) erhalten wir den Kreis der Abbildung 2. Der Radius reduziert sich auf .
Abb. 2: Reduzierter Radius
Fźr (Halbierung des Gewichtes) erhalten wir den Kreis der Abbildung 3. Der Radius vergrš§ert sich auf .
Abb. 3: Vergrš§erter Radius
Die Bezugspunkte sind im folgenden grźn eigezeichnet, der Kreismittelpunkt rot.
In der Abbildung 4 ist c = 2. Wir erhalten den gewšhnlichen Thaleskreis.
Abb. 4: Thaleskreis
Fźr c = 3, aber gleichbleibenden Bezugspunkten, erhalten wir einen vergrš§erten Radius (Abb. 5). Der Radius ist .
Abb. 5: Vergrš§erter Radius
Fźr c = 1.5 ergibt sich ein verkleinerter Radius (Abb. 6). Der Radius ist .
Abb. 6: Verkleinerter Radius
Fźr ergibt sich der Radius null. Fźr ergibt sich ein rein imaginŠrer Radius.
Wir setzen c = 2, aber beide Gewichte auf . Damit erhalten wir den Radius (Abb. 7).
Abb. 7: Halbierung der Gewichte
Wenn wir nur ein Gewicht halbieren, ergibt sich eine asymmetrische Figur (Abb. 8). Das Gewicht des linken Punktes ist 1, das des rechten Punktes und . Es ist und .
Abb. 8: Asymmetrisch
Im Beispiel der Abbildung 9 bilden die Bezugspunkte ein gleichseitiges Dreieck. Alle Gewichte sind 1 und . Wir erhalten den Umkreis.
Abb. 9: Umkreis
Die Abbildung 10 zeigt ein unregelmŠ§iges Beispiel.
Abb. 10: UnregelmŠ§iges Beispiel
Im Beispiel der Abbildung 11 sind alle Gewichte 1 und . Wir erhalten den Umkreis.
Abb. 11: Umkreis
Die Abbildung 12 zeigt ein unregelmŠ§iges Beispiel.
Abb. 12: UnregelmŠ§iges Beispiel
Alle Gewichte 1. .
Abb. 13: RegelmŠ§iger Fall
Ich vermute, dass es allgemein fźr den Umkreis gibt.
Die †berlegungen lassen sich sinngemŠ§ auf die Kugel źbertragen.