Hans Walser, [20190929]

Kollineare Punkte

Idee und Anregung: Hartmut MŸller-Sommer, Vechta

1   Standardfall

Auf der Hyperbel  wŠhlen wir zwei Punkte A und C (Abb. 1). Wir ergŠnzen die beiden Punkte zu einem achsenparallelen Rechteck ABCD.

Dann sind der Koordinatenursprung O und die beiden Punkte B und D kollinear.

Abb. 1: Hyperbel und Rechteck

Beweis: FŸr A und C setzen wir die Koordinaten:

 

                                                                                                       (1)

 

 

 

Damit ergeben sich fŸr B und D die Koordinaten:

 

                                                                                                      (2)

 

 

 

Wegen

 

                                                                                                  (3)

 

 

 

 

sind die beiden Ortsvektoren von O zu B beziehungsweise zu D linear abhŠngig. Damit ist die KollinearitŠt nachgewiesen.

Die KollinearitŠt ergibt sich auch, wenn die beiden Startpunkte auf verschiedenen €sten der Hyperbel liegen (Abb. 2).

Abb. 2: Punkte auf verschiedenen HyperbelŠsten

2   Allgemeine Hyperbel

Wir kšnnen den Sachverhalt verallgemeinern auf eine beliebige Hyperbel. Das Rechteck muss ersetzt werden durch ein asymptotenparalleles Parallelogramm und der Koordinatenursprung durch den Schnittpunkt der Asymptoten (Abb. 3). Der allgemeine Fall kann nŠmlich affin auf den Standardfall abgebildet werden.

Abb. 3: Allgemeine Hyperbel

Auch im allgemeinen Fall dŸrfen die beiden Startpunkte auf verschiedenen HyperbelŠsten liegen (Abb. 4).

Abb. 4: Startpunkte auf verschiedenen HyperbelŠsten

Website

Hans Walser: Schlussgeraden 137 bis 140

http://www.walser-h-m.ch/hans/Schlussstriche/Geraden_101-200_int.htm