Hans Walser, [20170416]

Kollineare Punkte

1     Der Satz

Zu einem beliebigen Dreieck zeichnen wir den Umkreis (Abb. 1).

Abb. 1: Umkreis

In den Dreiecksecken zeichnen wir die Tangenten an den Umkreis (Abb. 2).

Abb. 2: Tangenten in den Eckpunkten

Wir schneiden jede Tangente mit der dem Berźhrungspunkt gegenźberliegenden Dreiecksseite (oder deren VerlŠngerung) (Abb. 3).

Abb. 3: Schnittpunkte

Die drei Schnittpunkte liegen auf einer Geraden (Abb. 4).

Abb. 4: Kollineare Punkte

2     Der Beweis

Der Satz ist ein Sonderfall des Satzes von Pappos-Pascal.

Der beim Satz von Pappos-Pascal benštigte Kegelschnitt ist der Umkreis des Dreiecks, und je zwei der beim Satz von Pappos-Pascal vorkommenden sechs Punkte auf dem Kegelschnitt sind identifiziert, so dass deren Verbindungsgerade zur Tangente an den Kegelschnitt wird.

3     Fragen

Gibt es einen elementargeometrischen Beweis ohne projektive Geometrie?

Ist der Pol der roten Geraden bezźglich des Umkreises ein ăbesonderer PunktŇ im Dreieck? (vergleiche Abschnitt 5)

Wie ist es beim gleichseitigen Dreieck?

4     Umgekehrt ist auch gefahren

In einem beliebigen Dreieck zeichnen wir den Inkreis (Abb. 5).

Abb. 5: Inkreis

Die Berźhrpunkte des Inkreises bilden ein Dreieck (Abb. 6).

Abb. 6: Berźhrpunktdreieck

Wir schneiden die Seiten des Ausgangsdreiecks mit den Seiten des Berźhrpunktdreiecks gemŠ§ Abbildung 7.

Abb. 7: Schnittpunkte

Die drei Schnittpunkte sind kollinear (Abb. 8).

Abb. 8: Kollineare Punkte

Die Figuren der Abbildungen 4 und 8 sind Šquivalent.

5     Der Pol als ăbesonderer PunktŇ

Wir zeichnen den Pol der roten Geraden bezźglich des blauen Inkreises (Abb. 9).

Abb. 9: Pol

Andererseits zeichnen wir die Ecktransversalen des grźnen Dreiecks zu den Berźhrungspunkten des Inkreises (Abb. 10). Diese Ecktransversalen sind kopunktal. Dies kann mit dem Satz von Ceva gezeigt werden.

Abb. 10: Transversalenschnittpunkt.

Der Transversalenschnittpunkt ist der Pol (Abb. 11). Mit DGS verifiziert.

Abb. 11: Der Transversalenschnittpunkt ist der Pol