1 Worum es geht

Iteration der Parametrisierungsformeln für pythagoreische Dreiecke.

Die Hoffnung auf ein Muster hat sich nicht erfüllt.

2 Vorgehen

Wir setzen die Startwerte:

u[0] := 2.0:

v[0] := 1:

Dies sind die Parameter für das pythagoreische Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5. Genau genommen müsste u[0] := 2 sein. Der Dezimalpunkt dient dazu, die floating point arithmetic zu aktivieren, welche viel schneller arbeitet.

Nun berechnen wir:

a[0] := u[0]^2 - v[0]^2:

b[0] := 2*u[0]*v[0]:

c[0] := u[0]^2 + v[0]^2:

Dies sind die Seiten 3, 4, 5 des pythagoreischen Dreiecks. Und nun die Iteration:

u[n] := a[n-1]/c[n-1]:

v[n] := b[n-1]/c[n-1]:

a[n] := u[n]^2 - v[n]^2:

b[n] := 2*u[n]*v[n]:

c[n] := u[n]^2 + v[n]^2:

Wir verwenden also die normierten Katheten a[n-1] und b[n-1] (es wird auf die Hypotenusenlänge 1 normiert) als Parameter für das nachfolgende (pythagoreische) Dreieck. Da a[n-1] kleiner als b[n-1] sein kann, können auch negative «Seitenlängen» auftreten.

3 Illustration

Wir zeichnen lediglich die (auf die Länge 1 normierte) Hypotenuse, also die Strecke [0,0], [u[n], v[n]].

Die Hoffnung war, dass sich irgendein Muster oder ein Grenzwert abzeichnet. Dies ist nicht der Fall (Abb. 1 und 2).

Ein Bild, das Design enthält.

Automatisch generierte Beschreibung mit geringer Zuverlässigkeit

Abb. 1: Die ersten 100 Schritte

Abb. 2: Animation