Hans Walser, [20120607]

IrrationalitŠt und DIN

Mit Hilfe von DIN-Papieren kann die IrrationalitŠt von  nachgewiesen werden. Der beweis lŠuft wie Ÿblich indirekt.

Wir nehmen  an. Dann kann  als Bruch teilerfremder natŸrlicher Zahlen a und b geschrieben werden:

Es ist weiter , aber .

Da ein DIN A5-Papier das SeitenverhŠltnis  hat, gibt es eine geeignete Ma§einheit, so dass das A5-Papier an der langen Seite a Einheiten misst  und an der kurzen Seite b (Abb. 1). 

Abb. 1: Ganzzahlige Ma§e im A5-Papier

Wenn wir zwei solcher A5-Papiere aneinanderfŸgen, entsteht ein A4-Rechteck mit der langen Seite 2b und der kurzen Seite a (Abb. 2).

Abb. 2: A4-Rechteck

Nun legen wir die beiden A5-Papiere im Querformat auf das A4-Rechteck (ebenfalls im Querformat) gemŠ§ Abb. 3.

Abb. 3: Umgelegte A5-Papiere

Es entstehen neue Rechtecke, in der Mitte ein †berlappungsrechteck und an zwei diametralen Ecken je ein Lochrechteck. In der Abbildung 3 sind die Ma§e dieser neuen Rechtecke angegeben.

Mit StrahlensatzŸberlegungen folgt, dass alle Rechtecke Šhnlich sind, also das SeitenverhŠltnis  haben. Somit ergibt sich aus dem †berlappungsrechteck:

Wenn wir der Abbildung 3 trauen dŸrfen, ist das ein Bruch mit kleinerem ZŠhler und Nenner als . Dies steht im Widerspruch dazu, dass  als optimal gekŸrzt angenommen wurde. Wir mŸssen aber wirklich noch zeigen, dass zum Beispiel . Das geht so: Oben hatten wir: . Daraus folgt:

Damit ist der Widerspruch zur Annahme  nachgewiesen. Es ist . FŸr andere IrrationalitŠtsbeweise von  siehe [Miller/Montague 2012].

 

Aufgabe: In ein A4-Rechteck legen wir zwei A5-Rechtecke gemŠ§ Abbildung 4.

Es entstehen ein †berlappungsrechteck und zwei Lochrechtecke.

Abb. 4: Zwei A5-Rechtecke im A4-Rechteck

Welchen A-Code haben das †berlappungsrechteck und die Lochrechtecke?

Bearbeitung

Wir nehmen fŸr das A4-Rechteck die LŠnge  und die Breite 1 an. Der FlŠcheninhalt des A4-Rechteckes ist also . FŸr die neuen Rechtecke ergeben sich die Ma§verhŠltnisse der Abbildung 5.

Abb. 5: Ma§verhŠltnisse

FŸr das †berlappungsrechteck erhalten wir den FlŠcheninhalt:

Das A4-Recheck hat den FlŠcheninhalt . Nun gilt folgende FlŠchenverhŠltnisgleichung:

Dies ist eine Exponentialgleichung mit der Lšsung:

Das †berlappungsrechteck rangiert zwischen A6 und A7.

FŸr ein Lochrechteck erhalten wir den FlŠcheninhalt:

Somit gilt:

Diese letzte Rechnung hŠtten wir uns sparen kšnnen: Da die beiden A5-Rechtecke zusammen flŠchenmŠ§ig gleich gro§ sind, ist das †berlappungsrechteck flŠchenmŠ§ig doppelt so gro§ wie ein Lochrechteck. Diese haben somit einen um 1 grš§eren A-Code.

Literatur

[Miller/Montague 2012]        Miller, Steven J. and Montague David: Picturing Irrationality. Mathematics Magazine. 85 (2012), p. 110-114.