1 Anteilmäßige Unterteilung

Wir beginnen mit einem Dreieck, dessen Seiten wir in gleichen Verhältnissen unterteilen (Abb. 1).

Abb. 1: Unterteilung der Seiten

Die Teilpunkte verbinden wir zu einem Dreieck (Abb. 2).

Abb. 2: Kleines Dreieck

2 Schwerpunkte

Zunächst zeichnen wir nun den Schwerpunkt des großen Dreieckes (Abb. 3).

Abb. 3: Schwerpunkt im großen Dreieck

Und dann den Schwerpunkt im kleinen Dreieck (Abb. 4 und 5). Die beiden Schwerpunkte fallen zusammen.

Abb. 4: Zusammenfallende Schwerpunkte

Abb. 5: Geometrie ist schön

3 Invarianz der Schwerpunkte

Die Lage des Schwerpunktes des kleinen Dreieckes ist invariant gegenüber einer Veränderung des Teilverhältnisses der Seiten des großen Dreieckes (Abb. 6 und 7).

Abb. 6: Invarianter Schwerpunkt

Abb. 7: Invarianter Schwerpunkt

4 Beweise

4.1 Sonderfall

Die Situation ist ein Sonderfall eines allgemeineren Sachverhaltes über invariante Schwerpunkte.

4.2 Affin regulär

Die verwendeten Begriffe und Konstruktionen sind invariant gegenüber affinen Abbildungen. Wir können uns also auf ein reguläres (gleichseitiges) Start-Dreieck beschränken (Abb. 8). Im regulären Start-Dreieck folgt der Sachverhalt aus Symmetriegründen.

Abb. 12: Reguläre Situation

Weblink

Hans Walser: Invarianter Schwerpunkt

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Invarianter_Schwerpunkt/Invarianter_Schwerpunkt.htm