Hans Walser, [20190725]

Ikosaeder

Anregung: G. M., M.

1   Worum geht es?

Die Zentralprojektion eines Ikosaeders auf seine Umkugel (sphŠrisches Ikosaeder) wird mit Plastikstreifen modelliert. Kombinatorische Aspekte.

2   Das Modell

Die Abbildung 1 zeigt ein Modell aus 30 Plastikstreifen und 12 MustertŸtenklammern.  

Abb. 1: Modell aus 30 Plastikstreifen

Jede MustertŸtenklammer verbindet fŸnf Streifenenden.

Die Herausforderung ist nun, die Streifen mšglichst symmetrisch zu verbinden.

3   FŸnf Farben

Wir arbeiten mit je sechs Streifen in fŸnf Farben. Im Modell der Abbildung 2 werden die fŸnf Farben

(1)  wei§

(2)  hellgrŸn

(3)  gelb

(4)  dunkelgrŸn

(5)  schwarz

verwendet. Die angegebenen Nummern verwenden wir im Folgenden zur Codierung der Farben.

Abb. 2: FŸnf Farben

Bei jeder MustertŸtenklammer kommt jede Farbe genau einmal vor, und zwar von au§en nach innen in der Reihenfolge 1, 2, 3, 4, 5.

Andererseits haben wir bei jeder MustertŸtenklammer eine andere zyklische Reihenfolge der fŸnf Farben.

4   Kombinatorischer Aspekt

FŸr n Elemente gibt es (n – 1)! zyklische Reihenfolge, da wir ein bestimmtes Element als Startelement definieren kšnnen.

FŸr unsere fŸnf Farben gibt es daher (5 – 1)! = 4! = 24 zyklische Reihenfolgen. Diese sind in der Tabelle 1 in lexikografischer Reihenfolge aufgelistet, wobei immer die Farbe 1 als Startelement gewŠhlt wurde.

 

12345

13245

14235

15234

12354

13254

14253

15243

12435

13425

14325

15324

12453

13452

14352

15342

12534

13524

14523

15423

12543

13542

14532

15432

Tab. 1: Zyklische Reihenfolge der Farben

Die wei§ unterlegten FŠlle sind gerade Permutationen der Ausgangsreihenfolge 12345. Wir kšnnen diese mit einer geraden Anzahl Zweiervertauschungen ineinander ŸberfŸhren. Die gelb unterlegten FŠlle sind ungerade Permutationen der Ausgangsreihenfolge 12345.

Wir wŠhlen nun die zwšlf geraden zyklischen Permutationen fŸr unsere MustertŸtenklammern.

5   Schlegel-Diagramm

Die Abbildung 3 ist ein Schlegel-Diagramm des Ikosaeders. Dabei wurden die Kanten mit den Farben

(1)  rot

(2)  grŸn

(3)  blau

(4)  magenta

(5)  zyan

gefŠrbt. Aus darstellungstechnischen GrŸnden weichen die Farben von denen des Modells der Abbildung 2 ab.

Bei jedem Knoten (das hei§t bei jeder MustertŸtenklammer) kommen genau die fŸnf Farben vor, aber jedes Mal in einer anderen zyklischen Reihenfolge. Die zyklischen Reihenfolgen entsprechen den geraden Permutationen der Tabelle 1. In der Abbildung 3 sind drei Knoten (die Ecken des gro§en Dreieckes) entsprechend markiert. Der Start ist jeweils bei 1, also rot, und dann geht es im positiven Drehsinn (Gegenuhrzeigersinn) herum.

Abb. 3: Schlegel-Diagramm

6   Dreiecke

Jedes Dreieck ist von drei verschiedenen Farben berandet. Da wir fŸnf Farben haben, gibt es zunŠchst  mšglich Farbauswahlen. Diese sind in der Tabelle 2, linke Spalte, lexikografisch aufgelistet.

 

(123)

(321)

(124)

(421)

(125)

(521)

(134)

(431)

(135)

(531)

(145)

(541)

(234)

(432)

(235)

(532)

(245)

(542)

(345)

(543)

Tab. 2: Farbauswahlen

Nun kann aber die FŠrbung der Dreieckseiten auch in umgekehrter zyklischer Reihenfolge geschehen. Wir erhalten also auch noch die Farbreihenfolgen der rechten Spalte der Tabelle 2. Somit haben wir 20 verschiedene FŠrbungsreihenfolgen fŸr die 20 Dreiecke des Ikosaeders. SŠmtliche Dreiecke im Schlegel-Diagramm sind entsprechend codiert. Neckisch ist die FŠrbung (531). Das zugehšrige Dreieck ist die Au§enflŠche des Schlegel-Diagramms. Das dreht auch die Orientierung um.

7   Bemerkungen

Wenn wir einen Streifen Ÿber die MustertŸtenklammer hinaus verlŠngern, wird er zur Symmetrieachse des anschlie§enden Dreiecks. Die dazu orthogonale Basisseite dieses Dreiecks hat dann dieselbe Farbe wie der verlŠngerte Streifen.

Die Endpunkte von zwei gegenŸberliegenden Streifen gleicher Farbe bilden ein sogenanntes Goldenes Rechteck. Die drei Paare gegenŸberliegender Streifen gleicher Farbe fŸhren daher zum Ÿblichen GerŸst fŸr das Ikosaeder (Walser 2013, S. 141).

Das Modell der Abbildung 1 hat dieselbe Raumstruktur wie das mehrfarbige Modell der Abbildung 2.

 

Literatur

Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.