Hans Walser, [20230910]
Höhensatz und Goldener Schnitt
1 Worum es geht
Beim Höhensatz erscheint der Goldene Schnitt an mehreren Orten.
2 Die Höhensatzfigur
Die Abbildung 1 zeigt die Höhensatzfigur.
Abb. 1: Höhensatzfigur
3 Eine Ellipse
Wir bewegen nun die Ecke mit den rechten Winkel auf dem Thaleskreis und fragen nach der Bahnkurve des zum Höhenfußpunkt diametralen Eckpunktes im Höhenquadrat (rot in Abb. 1).
Die Abbildung 2 zeigt die Bahnkurve.
Abb. 2: Bahnkurve
Die Bahnkurve ist eine Ellipse.
4 Der Goldene Schnitt
Für die Berechnungen nehmen wir an, der Thaleskreis des rechtwinkligen Dreiecks sei der Einheitskreis. Die Ecken A und B in der üblichen Bezeichnung haben die Koordinaten A(–1, 0) und B(1,0). Für die Bahnkurve erhalten wir die Gleichung:
x2 – 2xy + 2y2 – 1 = 0
Dies ist die Gleichung einer Ellipse (Abb. 3).
Abb. 3: Ellipse
Die lange Halbachse hat die Länge Φ und die Steigung 1/Φ. Dabei ist Φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618 der Goldene Schnitt.
Die kurze Halbachse hat die Länge 1/Φ und die Steigung –Φ. Das Achsenverhältnis ist also Φ2:1 (Hypergoldenes Verhältnis).
Die vier Schnittpunkte der Ellipse mit dem Thaleskreis sind die Ecken eines Rechtecks mit dem Seitenverhältnis Φ:1 (Goldenes Rechteck, Abb. 4).
Abb. 4: Goldenes Rechteck