Hans Walser, [20080908a], [20131229]
Hšhenabschnitte
Wir beweisen einen Satz (Satz von Segner) Ÿber Hšhenabschnitte im Dreieck.
Am 29. Januar 1763 schrieb Segner in einem Brief an Euler:
ã... das schÏne Problem, welches Er Wohlgb. mir mitzutheilen die
Geneigt[heit] haben ist einige Probe davon. Ich will bey Gelegenheit die
AuflÏsung versuchen; aber ich muss Zeit haben; denn es war mir so gar neu, da§
bey einem Dreyecke die intersectio trium perpendiculorum ein eintziges Punct
sey. Als ich diesem nachdachte, fand ich zugleich, da§ die geraden Linien,
welche von diesem Punct an die Ecken des Dreyecks gezogen werden kÏnnen, sich
wie die Cosinus dieser Ecken oder Winckel verhalten. Er Wohlgb. haben dieses ohnfehlbar
auch bemercket.Ò
In einem Dreieck mit Hšhenschnittpunkt H seien die Hšhenabschnitte (Fig. 1).
Fig. 1: Hšhenabschnitte
Mit den Dreieckswinkeln gilt die Behauptung:
Das Viereck hat bei und je einen rechten Winkel und bei den Winkel . Daher hat es bei H den Winkel . Als Scheitelwinkel ist dann auch .
Wir spiegeln nun den Hšhenschnittpunkt H an der Seite (Fig. 2), der Bildpunkt sei . Bei haben wir ebenfalls den Winkel .
Fig. 2: Spiegeln des Hšhenschnittpunktes
Das Viereck ist daher ein Sehnenviereck. Sein Umkreis ist aber der Umkreis u des Dreieckes (Fig. 3).
Fig. 3: Spiegelpunkte auf dem Umkreis
Wenn wir H an den beiden anderen Dreiecksseiten spiegeln, erhalten wir entsprechend die Punkte und , welche ebenfalls auf dem Umkreis u des Dreieckes liegen .
Das Sehnensechseck hat folgende Eigenschaften: Die mit der Ecke inzidenten Seiten messen . An der Ecke misst der Innenwinkel .
Wir teilen nun das Sechseck vom Umkreismittelpunkt U aus mit Radien in sechs gleichschenklige Dreiecke auf (Fig. 4).
Fig. 4: Aufteilung in gleichschenklige Dreiecke
Dann sind zum Beispiel die beiden Dreiecke und kongruent. Sie haben die SchenkellŠnge r des Umkreisradius, die BasislŠnge und die Basiswinkel . Daher ist . Analog folgt fŸr .
Somit haben wir
,
also die Behauptung von Segner.
Auffallend ist die formale €hnlichkeit zum Sinussatz.