Hans Walser, [20230808]

Hochgoldenes Rechteck

1 Worum es geht

Spielerei im Kontext des Goldenen Schnittes

2 Die Konstruktion

Einem Rechteck mit der Länge t und der Breite 1 setzen wir auf einer Langseite und einer Schmalseite ein gleichseitiges Dreieck an (Abb. 1).

Abb. 1: Dreiecke an einem Rechteck

Um die Mittelpunkte der betreffenden Rechteckseiten zeichnen je eine Kreis durch die Spitze des angesetzten gleichseitigen Dreieckes. In der Position der Abbildung 1 schneiden sich die beiden Kreise in zwei Punkten.

3 Problemstellung

Was geschieht, wenn die Form des Rechtecks verändert wird?

Wir variieren die Länge t des Rechtecks (Abb. 2).

Abb. 2: Variation der Rechtecklänge

Für ganz kleine und ganz große Werte von t gibt es keine Schnittpunkte der beiden Kreise.

Für welche Werte von t berühren sich die beiden Kreise?

4 Sonderfälle

4.1 Berührung

Für t = 1/Φ² ≈ 0.381966 berühren sich die beiden Kreise (Abb. 3). Das Rechteck mit dem Seitenverhältnis (1/Φ²):1 ≈ 0.381966:1 ist ein hochgoldenes Rechteck (im Hochformat). Die beiden rot und blau eingezeichneten Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, die rote Strecke ist der Major, die blaue der Minor.

Abb. 3: Berührung der beiden Kreise

4.2 Quadrat

Für t = 1 ist das Rechteck ein Quadrat (Abb. 4). Die rot und grün eingezeichneten Strecken stehen im Verhältnis Φ²:1, also, wenn man so will, in einem hochgoldenen Längenverhältnis.

Abb. 4: Quadrat

4.3 Berührung

Für t = Φ² ≈ 2.618034 ergibt sich die zweite Berührungssituation (Abb. 5). Das Rechteck mit dem Seitenverhältnis Φ²:1 ≈ 2.618034:1 ist ein hochgoldenes Rechteck (im Querformat). Die beiden rot und blau eingezeichneten Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, die rote Strecke ist der Major, die blaue der Minor.

Abb. 5: Berührung

Weblink

Hans Walser: Hochgoldenes Rechteck

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Hochgoldenes_Rechteck/Hochgoldenes_Rechteck.html