Hans Walser, [20181104]
Hinkende ParitŠt
Es wird ein Beispiel mit hinkender Symmetrie besprochen.
Auflistung von Daten.
Der Hintergrund ist eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Folge und des Goldenen Schnittes.
Mit bezeichnen wir die n×n-Dreiecksmatrix, welche in der Nebendiagonalen (also von links unten nach rechts oben) sowie oberhalb davon mit Einsen gefźllt ist und unterhalb mit Nullen. (1) gibt die ersten Beispiele.
(1)
Die Tabelle 1 zeigt die ersten Determinanten der Matrizen .
n |
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
–1 |
–1 |
3 |
–1 |
–1 |
4 |
1 |
1 |
5 |
1 |
1 |
6 |
–1 |
–1 |
7 |
–1 |
–1 |
8 |
1 |
1 |
9 |
1 |
1 |
10 |
–1 |
–1 |
Tab. 1: Determinanten
Wir haben nicht einfach ein alternierendes Vorzeichen, sondern ein altalternierendes Vorzeichen.
Allgemein lŠsst sich das Vorzeichen mit verschiedenen Formeln bestimmen:
(2)
Beweis induktiv (Entwickeln nach der untersten Zeile).
Mit als n×n-Einheitsmatrix definieren wir das charakteristische Polynom:
(3)
Die Anordnung (4) gibt die ersten 10 charakteristischen Polynome.
(4)
Die Koeffizienten kommen uns bekannt vor. Das Koeffizientendreieck besteht bis auf Vorzeichen aus zwei Pascalschen Dreiecken der Binomialkoeffizienten.
(5)
In (5) sind die Koeffizienten der geraden Potenzen rot markiert. In den in der Abbildung 1 markierten SchrŠgzeilen stehen nun die Binomialkoeffizienten.
Abb. 1: Binomialkoeffizienten
Analog fźr die nicht rot markierten Koeffizienten der ungeraden Potenzen.
Die Koeffizienten von (4) und (5) mit und kšnnen wie folgt berechnet werden:
(6)
Mit dem Abrundungszeichen in den Binomialkoeffizienten in (6) schaffen wir die Fallunterscheidung zwischen geraden und ungeraden Potenzen.
Das Schema der Abbildung 2 zeigt die ersten Koeffizienten.
1, –1
–1, –1, 1
–1, 1, 2, –1
1, 1, –3, –2, 1
1, –1, –4, 3, 3, –1
–1, –1, 5, 4, –6, –3, 1
–1, 1, 6, –5, –10, 6, 4, –1
1, 1, –7, –6, 15, 10, –10, –4, 1
1, –1, –8, 7, 21, –15, –20, 10, 5, –1
–1, –1, 9, 8, –28, –21, 35, 20, –15, –5, 1
Abb. 2: Koeffizientenschema
Die Zeilensummen der Koeffizienten erhalten wir, indem wir in den charakteristischen Polynomen den Wert x = 1 einsetzen. Dies liefert die Werte der Tabelle 2.
n |
Zeilen- |
|
n |
Zeilen- |
|
n |
Zeilen- |
|
n |
Zeilen- |
1 |
0 |
|
7 |
0 |
|
13 |
0 |
|
19 |
0 |
2 |
–1 |
|
8 |
1 |
|
14 |
–1 |
|
20 |
1 |
3 |
1 |
|
9 |
–1 |
|
15 |
1 |
|
21 |
–1 |
4 |
–2 |
|
10 |
2 |
|
16 |
–2 |
|
22 |
2 |
5 |
1 |
|
11 |
–1 |
|
17 |
1 |
|
23 |
–1 |
6 |
–1 |
|
12 |
1 |
|
18 |
–1 |
|
24 |
1 |
Tab. 2: Zeilensummen
Wir erhalten nur wenige Werte fźr die Zeilensummen (im Unterschied zu den Zeilensummen im Pascalschen Dreieck der Binomialkoeffizienten). Die Zeilensummen sind periodisch mit der PeriodenlŠnge 12 und antiperiodisch mit der PeriodenlŠnge 6.
Fźr die alternierende Zeilensumme ergibt sich ein analoges Bild (Tab. 3). Wir haben lediglich eine Phasenverschiebung um 3.
n |
Alter- |
|
n |
Alter- |
|
n |
Alter- |
|
n |
Alter- |
1 |
2 |
|
7 |
–2 |
|
13 |
2 |
|
19 |
–2 |
2 |
1 |
|
8 |
–1 |
|
14 |
1 |
|
20 |
–1 |
3 |
1 |
|
9 |
–1 |
|
15 |
1 |
|
21 |
–1 |
4 |
0 |
|
10 |
0 |
|
16 |
0 |
|
22 |
0 |
5 |
–1 |
|
11 |
1 |
|
17 |
–1 |
|
23 |
1 |
6 |
–1 |
|
12 |
1 |
|
18 |
–1 |
|
24 |
1 |
Tab. 3: Alternierende Zeilensummen
Wegen (6) gilt fźr die BetrŠge :
(7)
Die Abbildung 3 enthŠlt die BetrŠge der Koeffizienten der Abbildung 2.
1, 1
1, 1, 1
1, 1, 2, 1
1, 1, 3, 2, 1
1, 1, 4, 3, 3, 1
1, 1, 5, 4, 6, 3, 1
1, 1, 6, 5, 10, 6, 4, 1
1, 1, 7, 6, 15, 10, 10, 4, 1
1, 1, 8, 7, 21, 15, 20, 10, 5, 1
1, 1, 9, 8, 28, 21, 35, 20, 15, 5, 1
Abb. 3: BetrŠge der Koeffizienten
Es gilt die Rekursionsformel:
(8)
Wir sehen in dieser Rekursionsformel nochmals das Zerfallen in einen Teil mit geradem k und einen Teil mit ungeradem k.
Fźr die Zeilensummen erhalten wir:
2, 3, 5, 8, 13, 21, ... (9)
Dies sind die Fibonacci-Zahlen (Walser 2012).
Fźr die alternierenden Zeilensummen erhalten wir:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... (10)
Dies sind ebenfalls die Fibonacci-Zahlen.
Die Nullstellen der charakteristischen Polynome (4) sind die Eigenwerte der Matrizen .
Fźr n = 1 erhalten wir den Eigenwert 1.
Wir erhalten die beiden Eigenwerte –0.6180339887 und 1.618033989. Das ist der Goldene Schnitt (Walser 2013). Die Summe der Eigenwerte ist 1, das Produkt –1.
Wir erhalten die drei Eigenwerte:
k |
Eigenwert |
1 |
–0.8019377358 |
2 |
0.5549581321 |
3 |
2.246979604 |
Tab. 4.3: Eigenwerte fźr n = 3
Die Summe der Eigenwerte ist 2, das Produkt –1.
Wir erhalten die vier Eigenwerte:
k |
Eigenwert |
1 |
–1 |
2 |
–0.5320888862 |
3 |
0.6527036447 |
4 |
2.879385242 |
Tab. 4.4: Eigenwerte fźr n = 4
Bemerkenswert der Eigenwert –1.
Die Summe der Eigenwerte ist 2, das Produkt 1.
Wir erhalten die Eigenwerte:
k |
Eigenwert |
1 |
–1.203615624 |
2 |
–0.5943511444 |
3 |
0.5211085581 |
4 |
0.7635211184 |
5 |
3.513337092 |
Tab. 4.5: Eigenwerte fźr n = 5
Die Summe der Eigenwerte ist 3, das Produkt 1.
Wir erhalten die Eigenwerte:
k |
Eigenwert |
1 |
–1.410020048 |
2 |
–0.6679930799 |
3 |
–0.5149639155 |
4 |
0.5646807809 |
5 |
0.8801813576 |
6 |
4.148114905 |
Tab. 4.6: Eigenwerte fźr n = 6
Die Summe der Eigenwerte ist 3, das Produkt –1.
Wir erhalten die Eigenwerte:
k |
Eigenwert |
1 |
–1.618033989 |
2 |
–0.7472382749 |
3 |
–0.5473181393 |
4 |
0.5111702974 |
5 |
0.6180339887 |
6 |
1 |
7 |
4.783386117 |
Tab. 4.7: Eigenwerte fźr n = 7
Bemerkenswert die Eigenwerte Nr. 1 und 5 (Goldener Schnitt) sowie der Eigenwert Nr. 6 mit dem Wert 1.
Die Summe der Eigenwerte ist 4, das Produkt –1.
Wir erhalten die Eigenwerte:
k |
Eigenwert |
1 |
–1.827064741 |
2 |
–0.8296901137 |
3 |
–0.5880850656 |
4 |
–0.5086609188 |
5 |
0.5362089982 |
6 |
0.6765818224 |
7 |
1.121734294 |
8 |
5.418975724 |
Tab. 4.8: Eigenwerte fźr n = 8
Die Summe der Eigenwerte ist 4, das Produkt 1.
Wir erhalten die Eigenwerte:
k |
Eigenwert |
1 |
–2.036780283 |
2 |
–0.9141634222 |
3 |
–0.6336007264 |
4 |
–0.5286433551 |
5 |
0.5069136414 |
6 |
0.5685217999 |
7 |
0.7382453930 |
8 |
1.244724160 |
9 |
6.054782793 |
Tab. 4.9: Eigenwerte fźr n = 9
Die Summe der Eigenwerte ist 5, das Produkt 1.
Wir erhalten die Eigenwerte:
k |
Eigenwert |
1 |
–2.246979604 |
2 |
–1 |
3 |
–0.6820799717 |
4 |
–0.5549581321 |
5 |
–0.5056476667 |
6 |
0.5232463680 |
7 |
0.6051519434 |
8 |
0.8019377358 |
9 |
1.368584327 |
10 |
6.690745000 |
Tab. 4.10: Eigenwerte fźr n = 10
Die Summe der Eigenwerte ist 5, das Produkt –1.
Bemerkenswert der zweite Eigenwert (–1). Die BetrŠge der Eigenwerte Nr. 1 und 4 erscheinen auch bei n = 3.
Wir erhalten die Eigenwerte:
k |
Eigenwert |
1 |
–2.457533658 |
2 |
–1.086802863 |
3 |
–0.7325436927 |
4 |
–0.5851927020 |
5 |
–0.5192553987 |
6 |
0.5047008106 |
7 |
0.5451306577 |
8 |
0.6445697078 |
9 |
0.8670314918 |
10 |
1.493073874 |
11 |
7.326821772 |
Tab. 4.11: Eigenwerte fźr n = 11
Die Summe der Eigenwerte ist 6, das Produkt –1.
Wir erhalten die Eigenwerte:
k |
Eigenwert |
1 |
–2.668355706 |
2 |
–1.174317328 |
3 |
–0.7844072518 |
4 |
–0.6180339887 |
5 |
–0.5377636535 |
6 |
–0.5039739854 |
7 |
0.5162179357 |
8 |
0.5705765018 |
9 |
0.6859005740 |
10 |
0.9331373584 |
11 |
1.618033989 |
12 |
7.962985555 |
Tab. 4.12: Eigenwerte fźr n = 12
Die Summe der Eigenwerte ist 6, das Produkt 1.
Wir haben wieder einmal den Goldenen Schnitt (Eigenwerte Nr. 4 und 11).
Wir erhalten die Eigenwerte:
k |
Eigenwert |
1 |
–2.879385242 |
2 |
–1.262371984 |
3 |
–0.8372985116 |
4 |
–0.6527036447 |
5 |
–0.5595140301 |
6 |
–0.5138509180 |
7 |
0.5034038367 |
8 |
0.5320888862 |
9 |
0.5984527759 |
10 |
0.7286063282 |
11 |
1 |
12 |
1.743355524 |
13 |
8.599216979 |
Tab. 4.13: Eigenwerte fźr n = 13
Die Summe der Eigenwerte ist 7, das Produkt 1.
Der 11. Eigenwert ist 1.
Wir erhalten die Eigenwerte:
k |
Eigenwert |
1 |
–3.090578746 |
2 |
–1.350846955 |
3 |
–0.8909685038 |
4 |
–0.6887095107 |
5 |
–0.5835278199 |
6 |
–0.5276191915 |
7 |
–0.5029483045 |
8 |
0.5119695639 |
9 |
0.5509184021 |
10 |
0.6280672720 |
11 |
0.7723364114 |
12 |
1.067444471 |
13 |
1.868960884 |
14 |
9.235502027 |
Tab. 4.14: Eigenwerte fźr n = 14
Die Summe der Eigenwerte ist 7, das Produkt –1.
Wir erhalten die Eigenwerte:
k |
Eigenwert |
1 |
–3.301904104 |
2 |
–1.439655738 |
3 |
–0.9452438923 |
4 |
–0.7257242491 |
5 |
–0.6091889269 |
6 |
–0.5440946186 |
7 |
–0.5104489194 |
8 |
0.5025785681 |
9 |
0.5240325211 |
10 |
0.5718555900 |
11 |
0.6589715287 |
12 |
0.8168520064 |
13 |
1.135346594 |
14 |
1.994793332 |
15 |
9.871830308 |
Tab. 4.15: Eigenwerte fźr n = 15
Die Summe der Eigenwerte ist 8, das Produkt –1.
Wir erhalten die Eigenwerte:
k |
Eigenwert |
1 |
–3.513337092 |
2 |
–1.528734257 |
3 |
–1 |
4 |
–0.7635211184 |
5 |
–0.6360893473 |
6 |
–0.5625338197 |
7 |
–0.5211085581 |
8 |
–0.5022743371 |
9 |
0.5092019425 |
10 |
0.5385795677 |
11 |
0.5943511444 |
12 |
0.6908615233 |
13 |
0.8619843877 |
14 |
1.203615624 |
15 |
2.120810390 |
16 |
10.50819395 |
Tab. 4.16: Eigenwerte fźr n = 16
Die Summe der Eigenwerte ist 8, das Produkt 1.
Und wieder mal den Eigenwert –1.
Fźr gegebenes n ist die Summe aller Eigenwerte . Das Produkt der Eigenwerte ist durch (2) gegeben (Satz von Vieta).
Wir untersuchen, fźr welche Werte von n und an welcher Stelle k eine vorgegebene spezielle Zahl als Eigenwert erscheint.
Wir sehen einige RegelmŠ§igkeiten.
Eigenwert 1:
n |
1 |
7 |
13 |
19 |
25 |
31 |
37 |
|
k |
1 |
6 |
11 |
16 |
21 |
26 |
31 |
|
Tab. 5.1: Eigenwert 1
Eigenwert –1:
n |
4 |
10 |
16 |
22 |
28 |
|
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Tab. 5.2: Eigenwert –1
Eigenwert (Goldener Schnitt):
n |
2 |
12 |
22 |
32 |
42 |
|
k |
2 |
11 |
20 |
29 |
38 |
|
Tab. 5.3: Eigenwert Goldener Schnitt
Eigenwert (Goldener Schnitt):
n |
2 |
12 |
22 |
32 |
42 |
|
k |
1 |
4 |
7 |
10 |
13 |
|
Tab. 5.4: Eigenwert Goldener Schnitt
Eigenwert (Goldener Schnitt):
n |
7 |
17 |
27 |
37 |
47 |
|
k |
5 |
12 |
19 |
26 |
33 |
|
Tab. 5.5: Eigenwert Goldener Schnitt
Eigenwert (Goldener Schnitt):
n |
7 |
17 |
27 |
37 |
47 |
|
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Tab. 5.6: Eigenwert Goldener Schnitt
Es gibt Eigenwerte, die mit vertauschtem Vorzeichen erscheinen.
Gegenźberstellungen:
k |
Eigenwert |
k |
Eigenwert |
1 |
–0.8019377358 |
1 |
–2.246979604 |
2 |
0.5549581321 |
2 |
–1 |
3 |
2.246979604 |
3 |
–0.6820799717 |
|
|
4 |
–0.5549581321 |
|
|
5 |
–0.5056476667 |
|
|
6 |
0.5232463680 |
|
|
7 |
0.6051519434 |
|
|
8 |
0.8019377358 |
|
|
9 |
1.368584327 |
|
|
10 |
6.690745000 |
Tab. 5.7: Entgegengesetzt gleiche Eigenwerte
k |
Eigenwert |
k |
Eigenwert |
1 |
–1 |
1 |
–2.879385242 |
2 |
–0.5320888862 |
2 |
–1.262371984 |
3 |
0.6527036447 |
3 |
–0.8372985116 |
4 |
2.879385242 |
4 |
–0.6527036447 |
|
|
5 |
–0.5595140301 |
|
|
6 |
–0.5138509180 |
|
|
7 |
0.5034038367 |
|
|
8 |
0.5320888862 |
|
|
9 |
0.5984527759 |
|
|
10 |
0.7286063282 |
|
|
11 |
1 |
|
|
12 |
1.743355524 |
|
|
13 |
8.599216979 |
Tab. 5.8: Entgegengesetzt gleiche Eigenwerte
k |
Eigenwert |
k |
Eigenwert |
1 |
–1.203615624 |
1 |
–3.513337092 |
2 |
–0.5943511444 |
2 |
–1.528734257 |
3 |
0.5211085581 |
3 |
–1 |
4 |
0.7635211184 |
4 |
–0.7635211184 |
5 |
3.513337092 |
5 |
–0.6360893473 |
|
|
6 |
–0.5625338197 |
|
|
7 |
–0.5211085581 |
|
|
8 |
–0.5022743371 |
|
|
9 |
0.5092019425 |
|
|
10 |
0.5385795677 |
|
|
11 |
0.5943511444 |
|
|
12 |
0.6908615233 |
|
|
13 |
0.8619843877 |
|
|
14 |
1.203615624 |
|
|
15 |
2.120810390 |
|
|
16 |
10.50819395 |
Tab. 5.9: Entgegengesetzt gleiche Eigenwerte
Daraus folgt dieVermutung, dass sich jeder Eigenwert beliebig oft wiederholt. Die Tabelle 5.10 illustriert den Einstieg zum einfachsten Beispiel. Die EintrŠge in der ersten Teiltabelle erscheinen wieder in der dritten Teiltabelle.
k |
Eigenwert |
k |
Eigenwert |
k |
Eigenwert |
1 |
–0.8019377358 |
1 |
–2.246979604 |
1 |
–6.690745000 |
2 |
0.5549581321 |
2 |
–1 |
2 |
–2.879385242 |
3 |
2.246979604 |
3 |
–0.6820799717 |
3 |
–1.846105213 |
|
|
4 |
–0.5549581321 |
4 |
–1.368584327 |
|
|
5 |
–0.5056476667 |
5 |
–1.095984918 |
|
|
6 |
0.5232463680 |
6 |
–0.9215803947 |
|
|
7 |
0.6051519434 |
7 |
–0.8019377358 |
|
|
8 |
0.8019377358 |
8 |
–0.7160894227 |
|
|
9 |
1.368584327 |
9 |
–0.6527036447 |
|
|
10 |
6.690745000 |
10 |
–0.6051519434 |
|
|
|
|
11 |
–0.5693324044 |
|
|
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12 |
–0.5426076046 |
|
|
|
|
13 |
–0.5232463680 |
|
|
|
|
14 |
–0.5101142974 |
|
|
|
|
15 |
–0.5024970206 |
|
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16 |
0.5006223130 |
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|
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|
17 |
0.5056476667 |
|
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18 |
0.5159547201 |
|
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|
19 |
0.5320888862 |
|
|
|
|
20 |
0.5549581321 |
|
|
|
|
21 |
0.5859666507 |
|
|
|
|
22 |
0.6272482874 |
|
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|
23 |
0.6820799717 |
|
|
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|
24 |
0.7556456124 |
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|
25 |
0.8565403340 |
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26 |
1 |
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27 |
1.215695791 |
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28 |
1.569924515 |
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29 |
2.246979604 |
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|
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30 |
4.021112298 |
|
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31 |
20.05560075 |
Tab. 5.10: Sich wiederholende Eigenwerte
Die Abbildung 2 zeigt die ersten fźnf charakteristischen Polynomkurven.
Abb. 2: Die ersten fźnf Polynomkurven
Die Abbildung 3 zeigt die ersten 20 Polynomkurven in der FŠrbung rot fźr geraden Grad, blau fźr ungeraden Grad.
Abb. 3: Die ersten 20 Polynomkurven
Die Abbildung 4 zeigt die 20 ersten Polynomkurven in der hinkenden FŠrbung gemŠ§ Tabelle 1.
Abb. 4: Hinkende FŠrbung
Literatur
Walser, Hans (2012): Fibonacci. Zahlen und Figuren. Leipzig, EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-60-8.
Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing źber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.