Hans Walser, [20181104]

Hinkende ParitŠt

1     Worum geht es?

Es wird ein Beispiel mit hinkender Symmetrie besprochen.

Auflistung von Daten.

Der Hintergrund ist eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Folge und des Goldenen Schnittes.

2     Die Matrizen

Mit  bezeichnen wir die n×n-Dreiecksmatrix, welche in der Nebendiagonalen (also von links unten nach rechts oben) sowie oberhalb davon mit Einsen gefŸllt ist und unterhalb mit Nullen. (1) gibt die ersten Beispiele.

 

   (1)

 

 

 

 

 

3     Determinanten

Die Tabelle 1 zeigt die ersten Determinanten der Matrizen .

 

n

1

1

1

2

–1

–1

3

–1

–1

4

1

1

5

1

1

6

–1

–1

7

–1

–1

8

1

1

9

1

1

10

–1

–1

Tab. 1: Determinanten

Wir haben nicht einfach ein alternierendes Vorzeichen, sondern ein altalternierendes Vorzeichen.

Allgemein lŠsst sich das Vorzeichen mit verschiedenen Formeln bestimmen:

 

   (2)

 

 

 

Beweis induktiv (Entwickeln nach der untersten Zeile).

4     Charakteristisches Polynom

Mit  als n×n-Einheitsmatrix definieren wir das charakteristische Polynom:

 

                                                                                             (3)

 

 

 

Die Anordnung (4) gibt die ersten 10 charakteristischen Polynome.

 

           (4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1    Koeffizienten

Die Koeffizienten kommen uns bekannt vor. Das Koeffizientendreieck besteht bis auf Vorzeichen aus zwei Pascalschen Dreiecken der Binomialkoeffizienten.

 

      (5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

In (5) sind die Koeffizienten der geraden Potenzen rot markiert.  In den in der Abbildung 1 markierten SchrŠgzeilen stehen nun die Binomialkoeffizienten.

Abb. 1: Binomialkoeffizienten

Analog fŸr die nicht rot markierten Koeffizienten der ungeraden Potenzen.

Die Koeffizienten  von (4) und (5) mit  und  kšnnen wie folgt berechnet werden:

 

                                                 (6)

 

 

 

 

Mit dem Abrundungszeichen in den Binomialkoeffizienten in (6) schaffen wir die Fallunterscheidung zwischen geraden und ungeraden Potenzen.

Das Schema der Abbildung 2 zeigt die ersten Koeffizienten.

 

1, –1

–1, –1, 1

–1, 1, 2, –1

1, 1, –3, –2, 1

1, –1, –4, 3, 3, –1

–1, –1, 5, 4, –6, –3, 1

–1, 1, 6, –5, –10, 6, 4, –1

1, 1, –7, –6, 15, 10, –10, –4, 1

1, –1, –8, 7, 21, –15, –20, 10, 5, –1

–1, –1, 9, 8, –28, –21, 35, 20, –15, –5, 1

Abb. 2: Koeffizientenschema

4.1.1   Zeilensummen

Die Zeilensummen der Koeffizienten erhalten wir, indem wir in den charakteristischen Polynomen den Wert x = 1 einsetzen. Dies liefert die Werte der Tabelle 2.

 

n

Zeilen-
summe

 

n

Zeilen-
summe

 

n

Zeilen-
summe

 

n

Zeilen-
summe

1

0

 

7

0

 

13

0

 

19

0

2

–1

 

8

1

 

14

–1

 

20

1

3

1

 

9

–1

 

15

1

 

21

–1

4

–2

 

10

2

 

16

–2

 

22

2

5

1

 

11

–1

 

17

1

 

23

–1

6

–1

 

12

1

 

18

–1

 

24

1

Tab. 2: Zeilensummen

Wir erhalten nur wenige Werte fŸr die Zeilensummen (im Unterschied zu den Zeilensummen  im Pascalschen Dreieck der Binomialkoeffizienten). Die Zeilensummen sind periodisch mit der PeriodenlŠnge 12 und antiperiodisch mit der PeriodenlŠnge 6.

4.1.2   Alternierende Zeilensummen

FŸr die alternierende Zeilensumme ergibt sich ein analoges Bild (Tab. 3). Wir haben lediglich eine Phasenverschiebung um 3.

 

n

Alter-
nierende
Zeilen-
summe

 

n

Alter-
nierende
Zeilen-
summe

 

n

Alter-
nierende
Zeilen-
summe

 

n

Alter-
nierende
Zeilen-
summe

1

2

 

7

–2

 

13

2

 

19

–2

2

1

 

8

–1

 

14

1

 

20

–1

3

1

 

9

–1

 

15

1

 

21

–1

4

0

 

10

0

 

16

0

 

22

0

5

–1

 

11

1

 

17

–1

 

23

1

6

–1

 

12

1

 

18

–1

 

24

1

Tab. 3: Alternierende Zeilensummen

4.2    BetrŠge der Koeffizienten

Wegen (6) gilt fŸr die BetrŠge :

 

                                                                                             (7)

 

 

 

Die Abbildung 3 enthŠlt die BetrŠge der Koeffizienten der Abbildung 2.

 

1, 1

1, 1, 1

1, 1, 2, 1

1, 1, 3, 2, 1

1, 1, 4, 3, 3, 1

1, 1, 5, 4, 6, 3, 1

1, 1, 6, 5, 10, 6, 4, 1

1, 1, 7, 6, 15, 10, 10, 4, 1

1, 1, 8, 7, 21, 15, 20, 10, 5, 1

1, 1, 9, 8, 28, 21, 35, 20, 15, 5, 1

Abb. 3: BetrŠge der Koeffizienten

Es gilt die Rekursionsformel:

 

                                                                                           (8)

 

 

Wir sehen in dieser Rekursionsformel nochmals das Zerfallen in einen Teil mit geradem k und einen Teil mit ungeradem k.

FŸr die Zeilensummen erhalten wir:

 

                                                         2, 3, 5, 8, 13, 21, ...                                                   (9)

 

Dies sind die Fibonacci-Zahlen (Walser 2012).

FŸr die alternierenden Zeilensummen erhalten wir:

 

                                                   0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...                                            (10)

 

Dies sind ebenfalls die Fibonacci-Zahlen.

5     Eigenwerte

Die Nullstellen der charakteristischen Polynome (4) sind die Eigenwerte der Matrizen .

5.1    Eigenwert fŸr n = 1

FŸr n = 1 erhalten wir den Eigenwert 1.

5.2    Eigenwerte fŸr n = 2

Wir erhalten die beiden Eigenwerte –0.6180339887 und 1.618033989. Das ist der Goldene Schnitt (Walser 2013). Die Summe der Eigenwerte ist 1, das Produkt –1.

5.3    Eigenwerte fŸr n = 3

Wir erhalten die drei Eigenwerte:

 

k

Eigenwert

1

–0.8019377358

2

0.5549581321

3

2.246979604

Tab. 4.3: Eigenwerte fŸr n = 3

Die Summe der Eigenwerte ist 2, das Produkt –1.

5.4    Eigenwerte fŸr n = 4

Wir erhalten die vier Eigenwerte:

 

k

Eigenwert

1

–1

2

–0.5320888862

3

0.6527036447

4

2.879385242

Tab. 4.4: Eigenwerte fŸr n = 4

Bemerkenswert der Eigenwert –1.

Die Summe der Eigenwerte ist 2, das Produkt 1.

5.5    Eigenwerte fŸr n = 5

Wir erhalten die Eigenwerte:

 

k

Eigenwert

1

–1.203615624

2

–0.5943511444

3

0.5211085581

4

0.7635211184

5

3.513337092

Tab. 4.5: Eigenwerte fŸr n = 5

Die Summe der Eigenwerte ist 3, das Produkt 1.

5.6    Eigenwerte fŸr n = 6

Wir erhalten die Eigenwerte:

 

k

Eigenwert

1

–1.410020048

2

–0.6679930799

3

–0.5149639155

4

0.5646807809

5

0.8801813576

6

4.148114905

Tab. 4.6: Eigenwerte fŸr n = 6

Die Summe der Eigenwerte ist 3, das Produkt –1.

5.7    Eigenwerte fŸr n = 7

Wir erhalten die Eigenwerte:

 

k

Eigenwert

1

–1.618033989

2

–0.7472382749

3

–0.5473181393

4

0.5111702974

5

0.6180339887

6

1

7

4.783386117

Tab. 4.7: Eigenwerte fŸr n = 7

Bemerkenswert die Eigenwerte Nr. 1 und 5 (Goldener Schnitt) sowie der Eigenwert Nr. 6 mit dem Wert 1.

Die Summe der Eigenwerte ist 4, das Produkt –1.

5.8    Eigenwerte fŸr n = 8

Wir erhalten die Eigenwerte:

 

k

Eigenwert

1

–1.827064741

2

–0.8296901137

3

–0.5880850656

4

–0.5086609188

5

0.5362089982

6

0.6765818224

7

1.121734294

8

5.418975724

Tab. 4.8: Eigenwerte fŸr n = 8

Die Summe der Eigenwerte ist 4, das Produkt 1.

5.9    Eigenwerte fŸr n = 9

Wir erhalten die Eigenwerte:

 

k

Eigenwert

1

–2.036780283

2

–0.9141634222

3

–0.6336007264

4

–0.5286433551

5

0.5069136414

6

0.5685217999

7

0.7382453930

8

1.244724160

9

6.054782793

Tab. 4.9: Eigenwerte fŸr n = 9

Die Summe der Eigenwerte ist 5, das Produkt 1.

5.10 Eigenwerte fŸr n = 10

Wir erhalten die Eigenwerte:

 

k

Eigenwert

1

–2.246979604

2

–1

3

–0.6820799717

4

–0.5549581321

5

–0.5056476667

6

0.5232463680

7

0.6051519434

8

0.8019377358

9

1.368584327

10

6.690745000

Tab. 4.10: Eigenwerte fŸr n = 10

Die Summe der Eigenwerte ist 5, das Produkt –1.

Bemerkenswert der zweite Eigenwert (–1). Die BetrŠge der Eigenwerte Nr. 1 und 4 erscheinen auch bei n = 3.

5.11 Eigenwerte fŸr n = 11

Wir erhalten die Eigenwerte:

 

k

Eigenwert

1

–2.457533658

2

–1.086802863

3

–0.7325436927

4

–0.5851927020

5

–0.5192553987

6

0.5047008106

7

0.5451306577

8

0.6445697078

9

0.8670314918

10

1.493073874

11

7.326821772

Tab. 4.11: Eigenwerte fŸr n = 11

Die Summe der Eigenwerte ist 6, das Produkt –1.

5.12 Eigenwerte fŸr n = 12

Wir erhalten die Eigenwerte:

 

k

Eigenwert

1

–2.668355706

2

–1.174317328

3

–0.7844072518

4

–0.6180339887

5

–0.5377636535

6

–0.5039739854

7

0.5162179357

8

0.5705765018

9

0.6859005740

10

0.9331373584

11

1.618033989

12

7.962985555

Tab. 4.12: Eigenwerte fŸr n = 12

Die Summe der Eigenwerte ist 6, das Produkt 1.

Wir haben wieder einmal den Goldenen Schnitt (Eigenwerte Nr. 4 und 11).

5.13 Eigenwerte fŸr n = 13

Wir erhalten die Eigenwerte:

 

k

Eigenwert

1

–2.879385242

2

–1.262371984

3

–0.8372985116

4

–0.6527036447

5

–0.5595140301

6

–0.5138509180

7

0.5034038367

8

0.5320888862

9

0.5984527759

10

0.7286063282

11

1

12

1.743355524

13

8.599216979

Tab. 4.13: Eigenwerte fŸr n = 13

Die Summe der Eigenwerte ist 7, das Produkt 1.

Der 11. Eigenwert ist 1.

5.14 Eigenwerte fŸr n = 14

Wir erhalten die Eigenwerte:

 

k

Eigenwert

1

–3.090578746

2

–1.350846955

3

–0.8909685038

4

–0.6887095107

5

–0.5835278199

6

–0.5276191915

7

–0.5029483045

8

0.5119695639

9

0.5509184021

10

0.6280672720

11

0.7723364114

12

1.067444471

13

1.868960884

14

9.235502027

Tab. 4.14: Eigenwerte fŸr n = 14

Die Summe der Eigenwerte ist 7, das Produkt –1.

5.15 Eigenwerte fŸr n = 15

Wir erhalten die Eigenwerte:

 

k

Eigenwert

1

–3.301904104

2

–1.439655738

3

–0.9452438923

4

–0.7257242491

5

–0.6091889269

6

–0.5440946186

7

–0.5104489194

8

0.5025785681

9

0.5240325211

10

0.5718555900

11

0.6589715287

12

0.8168520064

13

1.135346594

14

1.994793332

15

9.871830308

Tab. 4.15: Eigenwerte fŸr n = 15

Die Summe der Eigenwerte ist 8, das Produkt –1.

5.16 Eigenwerte fŸr n = 16

Wir erhalten die Eigenwerte:

 

k

Eigenwert

1

–3.513337092

2

–1.528734257

3

–1

4

–0.7635211184

5

–0.6360893473

6

–0.5625338197

7

–0.5211085581

8

–0.5022743371

9

0.5092019425

10

0.5385795677

11

0.5943511444

12

0.6908615233

13

0.8619843877

14

1.203615624

15

2.120810390

16

10.50819395

Tab. 4.16: Eigenwerte fŸr n = 16

Die Summe der Eigenwerte ist 8, das Produkt 1.

Und wieder mal den Eigenwert –1.

5.17 Summe und Produkt

FŸr gegebenes n ist die Summe aller Eigenwerte . Das Produkt der Eigenwerte ist durch (2) gegeben (Satz von Vieta).

5.18 Spezielle Eigenwerte

Wir untersuchen, fŸr welche Werte von n und an welcher Stelle k eine vorgegebene spezielle Zahl als Eigenwert erscheint.

Wir sehen einige RegelmŠ§igkeiten.

Eigenwert 1:

n

1

7

13

19

25

31

37

 

k

1

6

11

16

21

26

31

 

Tab. 5.1: Eigenwert 1

Eigenwert –1:

n

4

10

16

22

28

 

k

1

2

3

4

5

 

Tab. 5.2: Eigenwert –1

Eigenwert  (Goldener Schnitt):

n

2

12

22

32

42

 

k

2

11

20

29

38

 

Tab. 5.3: Eigenwert Goldener Schnitt

Eigenwert  (Goldener Schnitt):

n

2

12

22

32

42

 

k

1

4

7

10

13

 

Tab. 5.4: Eigenwert Goldener Schnitt

Eigenwert  (Goldener Schnitt):

n

7

17

27

37

47

 

k

5

12

19

26

33

 

Tab. 5.5: Eigenwert Goldener Schnitt

Eigenwert  (Goldener Schnitt):

n

7

17

27

37

47

 

k

1

2

3

4

5

 

Tab. 5.6: Eigenwert Goldener Schnitt

5.19 Eigenwerte mit vertauschten Vorzeichen

Es gibt Eigenwerte, die mit vertauschtem Vorzeichen erscheinen.

GegenŸberstellungen:

 

k

Eigenwert

k

Eigenwert

1

–0.8019377358

1

–2.246979604

2

0.5549581321

2

–1

3

2.246979604

3

–0.6820799717

 

 

4

–0.5549581321

 

 

5

–0.5056476667

 

 

6

0.5232463680

 

 

7

0.6051519434

 

 

8

0.8019377358

 

 

9

1.368584327

 

 

10

6.690745000

Tab. 5.7: Entgegengesetzt gleiche Eigenwerte

k

Eigenwert

k

Eigenwert

1

–1

1

–2.879385242

2

–0.5320888862

2

–1.262371984

3

0.6527036447

3

–0.8372985116

4

2.879385242

4

–0.6527036447

 

 

5

–0.5595140301

 

 

6

–0.5138509180

 

 

7

0.5034038367

 

 

8

0.5320888862

 

 

9

0.5984527759

 

 

10

0.7286063282

 

 

11

1

 

 

12

1.743355524

 

 

13

8.599216979

Tab. 5.8: Entgegengesetzt gleiche Eigenwerte

 

k

Eigenwert

k

Eigenwert

1

–1.203615624

1

–3.513337092

2

–0.5943511444

2

–1.528734257

3

0.5211085581

3

–1

4

0.7635211184

4

–0.7635211184

5

3.513337092

5

–0.6360893473

 

 

6

–0.5625338197

 

 

7

–0.5211085581

 

 

8

–0.5022743371

 

 

9

0.5092019425

 

 

10

0.5385795677

 

 

11

0.5943511444

 

 

12

0.6908615233

 

 

13

0.8619843877

 

 

14

1.203615624

 

 

15

2.120810390

 

 

16

10.50819395

Tab. 5.9: Entgegengesetzt gleiche Eigenwerte

Daraus folgt dieVermutung, dass sich jeder Eigenwert beliebig oft wiederholt. Die Tabelle 5.10 illustriert den Einstieg zum einfachsten Beispiel. Die EintrŠge in der ersten Teiltabelle erscheinen wieder in der dritten Teiltabelle.

 

k

Eigenwert

k

Eigenwert

k

Eigenwert

1

–0.8019377358

1

–2.246979604

1

–6.690745000

2

0.5549581321

2

–1

2

–2.879385242

3

2.246979604

3

–0.6820799717

3

–1.846105213

 

 

4

–0.5549581321

4

–1.368584327

 

 

5

–0.5056476667

5

–1.095984918

 

 

6

0.5232463680

6

–0.9215803947

 

 

7

0.6051519434

7

–0.8019377358

 

 

8

0.8019377358

8

–0.7160894227

 

 

9

1.368584327

9

–0.6527036447

 

 

10

6.690745000

10

–0.6051519434

 

 

 

 

11

–0.5693324044

 

 

 

 

12

–0.5426076046

 

 

 

 

13

–0.5232463680

 

 

 

 

14

–0.5101142974

 

 

 

 

15

–0.5024970206

 

 

 

 

16

0.5006223130

 

 

 

 

17

0.5056476667

 

 

 

 

18

0.5159547201

 

 

 

 

19

0.5320888862

 

 

 

 

20

0.5549581321

 

 

 

 

21

0.5859666507

 

 

 

 

22

0.6272482874

 

 

 

 

23

0.6820799717

 

 

 

 

24

0.7556456124

 

 

 

 

25

0.8565403340

 

 

 

 

26

1

 

 

 

 

27

1.215695791

 

 

 

 

28

1.569924515

 

 

 

 

29

2.246979604

 

 

 

 

30

4.021112298

 

 

 

 

31

20.05560075

Tab. 5.10: Sich wiederholende Eigenwerte

6     Charakteristische Polynomkurven

Die Abbildung 2 zeigt die ersten fŸnf charakteristischen Polynomkurven.

Abb. 2: Die ersten fŸnf Polynomkurven

Die Abbildung 3 zeigt die ersten 20 Polynomkurven in der FŠrbung rot fŸr geraden Grad, blau fŸr ungeraden Grad.

Abb. 3: Die ersten 20 Polynomkurven

Die Abbildung 4 zeigt die 20 ersten Polynomkurven in der hinkenden FŠrbung gemŠ§ Tabelle 1.

Abb. 4: Hinkende FŠrbung

 

Literatur

Walser, Hans (2012): Fibonacci. Zahlen und Figuren. Leipzig, EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-60-8.

Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.