Hans Walser, [20180129]

Halbzeit

1     Die Strafaufgabe

In den FŸnfzigerjahren musste ich folgenden Satz zehn Mal schreiben:

 

Es ist verboten, im Schulhaus in den Pausen zu lŠrmen.

 

Ich schrieb mal den Satz auf die oberste Zeile.

Dann schaufelte ich vor und schrieb unter das erste Es neun weitere Es.

Dann schrieb ich die zweite Zeile zu Ende und unter ist acht weitere ist.

Nach drei ArbeitsgŠngen sieht es so aus:

 

Es ist verboten, im Schulhaus in den Pausen zu lŠrmen.

Es ist verboten, im Schulhaus in den Pausen zu lŠrmen.

Es ist verboten, im Schulhaus in den Pausen zu lŠrmen.

Es ist verboten,

Es ist verboten,

Es ist verboten,

Es ist verboten,

Es ist verboten,

Es ist verboten,

Es ist verboten,

Abb. 1: Schon Halbzeit?

2     Wann ist Halbzeit?

Wir machen die vereinfachende Modellannahme, dass alle Wšrter gleich lang sind. Dann geht es also darum, ein 10×10-Quadrat winkelfšrmig auszumalen (Abb. 2). Jeder Winkel ist ein Arbeitsgang.

Abb. 1: Nach drei ArbeitsgŠngen

Der Gag ist natŸrlich, dass nach fŸnf ArbeitsgŠngen bereits drei Viertel der Arbeit getan ist.

Schon nach drei ArbeitsgŠngen ist nach Abbildung 2 bereits 51%, also etwas mehr als die HŠlfte getan.

Es zeigt sich, dass es nicht mšglich ist, nach genau p ArbeitsgŠngen genau Halbzeit zu erreichen. Auch nicht, wenn man von einem 10×10-Quadrat auf ein n×n-Quadrat verallgemeinert.

Als SchŸler konnte ich das Problem nicht lšsen.

3     Die Mathematik dahinter

Es sei  die Anzahl der noch zu leistenden ArbeitsgŠnge. Die Halbzeitbedingung lautet:

 

                                                                                                                         (1)

 

 

Damit wird:

 

                                                                                                                         (2)

 

 

Da  irrational ist, gibt es keine Lšsung.

KŸrzlich sagte der Enkel nach den Nachtessen, nun mŸsse er noch zehn Mal einen Satz aus der Schulordnung schreiben:

 

           Mit RŸcksicht auf unsere MitschŸlerinnen und MitschŸler bleiben wir ruhig.