Hans Walser, [20170828]

HalbregulŠrer Pflasterstein

Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen

1     Worum geht es?

Mit dem regelmŠ§igen FŸnfeck lŠsst sich die Ebene nicht pflastern, wohl aber mit einem daraus abgeleiteten halbregulŠren FŸnfeck.

2     Der Pflasterstein

Mit dem regelmŠ§igen FŸnfeck lŠsst sich die Ebene nicht pflastern. Es bleiben nicht schlie§bare LŸcken (Abb. 1).

Abb. 1: LŸcke

Wir modifizieren unseren Pflasterstein. Wir beginnen mit einem regelmŠ§igen FŸnfeck (Abb. 2a) und klappen eine Ecke ein (Abb. 2b). Die Restfigur ist der Umriss unseres Pflastersteins. Er ist gleichseitig, aber nicht gleichwinklig. Daher die Bezeichnung halbregulŠr.  Weiteres zu dieser Figur siehe [1] .

Abb. 2: Verkleinertes FŸnfeck

Nun verzieren wir den Pflasterstein mit Teilen von Kreisringen. Die Geometrie dieser Kreisringteile ergibt sich aus der Abbildung 3a. Der Hintergrund ist der Goldene Schnitt (Walser 2013).

Abb. 3: Teile von Kreisringen

Die Abbildung 3b zeigt den in den folgenden Figuren verwendeten Pflasterstein.

3     Bandornamente

In der Abbildung 4 sehen wir ein Bandornament mit Schubspiegelsymmetrie.

Abb. 4: Bandornament mit Schubspiegelsymmetrie

In der Abbildung 5 glauben wir einen MŠander zu erkennen. Ist es aber ein MŠander?

Abb. 5: MŠander?

Man beachte, dass wir keine Symmetrieachsen haben. Man beachte weiter, dass wir auch ein einem realweltlichen MŠander wegen der Flie§richtung des Wassers keine Symmetrieachsen haben.

4     Parkette

Im Folgenden einige Beispiele von Parketten.

Abb. 6: Simples Parkett

Abb. 7: Parkett 2

Abb. 8: Parkett 3

Abb. 9: Parkett 4

Abb. 10: Parkett 5

5     Rosette

Die Figur der Abbildung 11 hat eine zehnteilige Rotationssymmetrie. Sie lŠsst sich beliebig weit in die Ebene fortsetzen.

Abb. 11: Rosette

6     Spiralen

Abb. 12: Archimedische Spirale

Abb. 13: Doppelspirale

Abb. 14: Zehnfachspirale

7     Wie geht es weiter?

Wir kšnnen analog mit einem regelmŠ§igen Vieleck ungerader Eckenzahl verfahren. Dia Abbildung 15 zeigt die Situation fŸr ein regelmŠ§iges Siebeneck. Die Verzierung im halbregulŠren Siebeneck gestattet gewissen Freiheiten.

Abb. 15: HalbregulŠres Siebeneck

Die Abbildung 16 zeigt ein einfaches Bandornament aus halbregulŠren Siebenecken.

Abb. 17: Bandornament aus halbregulŠren Siebenecken

 

Literatur

Walser, Hans (6. Auflage). (2013). Der Goldene Schnitt. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.

 

Websites

[1] Hans Walser: HalbregulŠr (abgerufen 29.8.2017):

www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20171118/index.html