Hans Walser, [20181209]

Halbkreise im Rechteck

1     Worum geht es?

Eine Konstruktion mit sich berŸhrenden Halbkreisen fŸhrt zu Rechtecken mit Rang und Namen. Der Grenzfall liefert eine spezielle Folge von pythagoreischen Dreiecken.

2     Vorgehen

†ber der linken Seite eines Rechteckes zeichnen wir einen Thaleskreis. †ber der rechten Seite zeichnen wir n Halbkreise, die sich nachbarlich berŸhren und die auch den Thaleskreis Ÿber der linken Seite berŸhren.

Die Abbildung 1 zeigt die Situation fŸr n = 6.

Abb. 1: Sechs blaue Halbkreise

Wie muss das Rechteck in AbhŠngigkeit von n dimensioniert sein?

3     Beispiele

3.1    Ein blauer Halbkreis

Die Lšsung ist ein Quadrat (Abb. 2.1).

Abb. 2.1: Ein blauer Halbkreis. Quadrat

3.2    DIN-Rechteck

Bei zwei blauen Halbkreisen ist ein Rechteck im DIN-SeitenverhŠltnis erforderlich (Abb. 2.2). †ber das DIN-Format siehe Walser(2013b). Weblink[1].

Abb. 2.2: DIN-Rechteck

3.3    Goldenes Rechteck

Bei drei blauen Halbkreisen ist ein Rechteck im SeitenverhŠltnis des Goldenen Schnittes erforderlich (Abb. 2.3).

Die Radien der blauen Kreise sind ebenfalls im VerhŠltnis des Goldenen Schnittes, wie durch das Pentagramm illustriert wird.

†ber den Goldenen Schnitt siehe Walser(2013a). Weblink [2]  .

Abb. 2.3: Goldenes Rechteck. Pentagramm

3.4    Gru§ vom gleichseitigen Dreieck

Bei vier blauen Halbkreisen ist ein Rechteck erforderlich dessen Diagonalen sich unter einem Winkel von 60¡ schneiden (Abb. 2.4). Wir kšnnen daher zwei gleichseitige Dreiecke einpassen. Die Radien der blauen Halbkreise stehen im VerhŠltnis 2:1.

 

Abb. 2.4: Gleichseitiges Dreieck

3.5    FŸnf blaue Halbkreise

Bei fŸnf blauen Halbkreisen (Abb. 2.5) habe ich keine schšne elementargeometrische Eigenschaft gefunden.

Abb. 2.5: FŸnf blaue Halbkreise

3.6    Sechs blaue Halbkreise. DIN-Rechteck

Bei sechs blauen Halbkreisen (Abb. 1) finden wir nach einigem Suchen ein DIN-Rechteck (Abb. 2.6).

Abb. 2.6: Nochmals DIN-Rechteck

4     Bearbeitung

Es ist sinnvoll, mit einer Fallunterscheidung bezŸglich der ParitŠt der Anzahl n der blauen Halbkreise zu arbeiten.

4.1    Gerade Anzahl von blauen Halbkreisen

Es sei n = 2m. Wir verwenden die Ma§e und Bezeichnungen der Abbildung 3 (fŸr den partikulŠren Fall m = 3).

Abb. 3: Ma§e und Bezeichnungen

Gesucht sind die m + 1 Werte . ZunŠchst haben wir die Bedingung:

 

                                                                                                                     (1)

 

 

 

Im gelb eingezeichneten Dreieck ergibt sich exemplarisch die Bedingung:

 

                                                                         (2)

 

 

 

Allgemein erhalten wir m Bedingungen der Form:

 

                                               (3)

 

 

 

Mit (1) und (3) haben wir m + 1 Bedingungen fŸr die gesuchten m + 1 Unbekannten. Wegen den Quadraten in (3) fŸhrt das zu Gleichungen hšheren Grades.

4.2    Ungerade Anzahl von blauen Halbkreisen

Es sei n = 2m – 1. Statt der Bedingung (1) erhalten wir die Bedingung:

 

                                                                                                           (4)

 

 

 

Die Bedingung (3) bleibt unverŠndert.

5     Grenzfall

5.1    Radien

Im Grenzfall von unendlich vielen blauen Halbkreisen ist x = 1 (Abb. 4). Das vereinfacht die Sache. Der erste Radius lŠsst sich ãvon HandÒ ausrechnen. Es ist:

 

                                                                                                                             (5)

 

 

 

Das gelb eingezeichnete rechtwinklige Dreieck ist das ãLehrerdreieckÒ mit dem SeitenverhŠltnis 4:3:5.

Abb.4: Grenzfall. Lehrerdreieck

Die ãDreiecksbedingungÒ (3) kann jetzt fŸr das Dreieck k + 1 in der Form geschrieben werden:

 

                                                              (6)

 

 

 

Dies lŠsst sich umformen zur Rekursion:

 

                                                                                                      (7)

 

 

 

 

Die Radien sind also wurzelfrei und damit rational. Die Tabelle 1 gibt die ersten 10 Radien.

 

k

bereinigt

1

1/4

 

 

2

1/12

1/3

1/3

3

1/24

1/2

2/4

4

1/40

3/5

3/5

5

1/60

2/3

4/6

6

1/84

5/7

5/7

7

1/112

3/4

6/8

8

1/144

7/9

7/9

9

1/180

4/5

8/10

10

1/220

9/11

9/11

Tab. 1: Radien. RadienverhŠltnisse

Interessant sind auch die RadienverhŠltnisse. Damit lŠsst sich die Rekursion viel einfacher schreiben:

 

                                                                                                                 (8)

 

 

 

5.2    Pythagoreische Dreiecke

Das erste (in Abb. 4 gelb eingezeichnete) rechtwinklige Dreieck ist das pythagoreische Dreieck mit dem SeitenverhŠltnis 3:4:5 (im negativen Umlaufssinn).

Auch die weiteren Dreiecke sind pythagoreisch (Tab. 2, negativer Umlaufssinn). Es sind die echten LŠngen als rationale Zahlen wie auch die erweiterten LŠngen angegeben.

 

k

1

1/4

1

3/4

5/4

3

4

5

2

1/12

1

5/12

13/12

5

12

13

3

1/24

1

7/24

25/24

7

24

25

4

1/40

1

9/40

41/40

9

40

41

5

1/60

1

11/60

61/60

11

60

61

6

1/84

1

13/84

85/84

13

84

85

7

1/112

1

15/112

113/112

15

112

113

8

1/144

1

17/144

145/144

17

144

145

9

1/180

1

19/180

181/180

19

180

181

10

1/220

1

21/220

221/220

21

220

221

Tab. 2: Pythagoreische Dreiecke

Wir erhalten die pythagoreischen Dreiecke, deren Hypotenuse um 1 grš§er ist als die lŠngere der beiden Katheten. Die Folge der kŸrzeren Katheten sind die ungeraden Zahlen.

 

Literatur

Walser, Hans (2013a): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.

Walser, Hans (2013b): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.

Weblinks

 

[1] Hans Walser: Kreise im silbernen Rechteck

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreise_i_s_R/Kreise_i_s_R.htm

 

[2] Hans Walser: Kreispackung

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreispackung/Kreispackung.htm