1 Worum geht es?

Variation der Hilbert-Kurve.

2 Geschlossene Kurven

Die klassische Hilbert-Kurve, wie man sie im Internet findet, hat in jeder Generation einen Anfang und ein Ende, ist also keine geschlossene Kurve.

Im Folgenden eine Variante mit geschlossenen Kurven (H-Kurven).

Die Abbildungen 1 und 2 zeigen die Generationen 0 bis 5.

Abb. 1: Generation 0 bis 5

Abb. 2: H-Kurven Generation 0 zu Generation 5

3 Übergänge

Die Abbildung 3 stellt den Übergang von einer Generation (rot) zur nachfolgenden Generation (blau) dar.

Abb. 3: Übergänge

4 Flächen

Da die H-Kurven geschlossen sind, können wir ein Innen und Außen unterscheiden. In den folgenden Abbildungen ist Innen blau und Außen gelb.

Abb. 4: Innen und Außen

4.1 Umfänge

Für die Umfänge habe ich die blauen Figuren der Generationen 0 bis 3 (Abb. 4 und 5) ausgezählt. Das sind natürlich auch die Längen der geschlossenen H-Kurven.

Für die Auszählung wurde ein passender Quadratraster verwendet.

Es wurden auf jedem horizontalen Niveau die Anzahlen der horizontalen Randstrecken und in jeder vertikalen Geraden die Anzahlen der vertikalen Randstrecken gezählt. Der Umfang der blauen Figur, also die Länge der geschlossenen H-Kurve wurde mit dem Umfang des gelben Trägerquadrates verglichen.

In der Generation 0 ist die Länge der der H-Kurve gleich dem Umfang des gelben Quadrates (Abb. 5.0).

Abb. 5.0: Generation 0

Für die Generation 1 ist Länge der der H-Kurve gleich dem Doppelten des Umfanges des gelben Quadrates (Abb. 5.1).

Abb. 5.1: Generation 1

Für die Generation 2 ist Länge der der H-Kurve gleich dem Vierfachen des Umfanges des gelben Quadrates (Abb. 5.2).

Abb. 5.2: Generation 2

Für die Generation 3 ist Länge der der H-Kurve gleich dem Achtfachen des Umfanges des gelben Quadrates (Abb. 5.2).

Abb. 5.2: Generation 3

Vermutung: Die Länge der H-Kurve verdoppelt sich von Generation zu Generation.

Interessanterweise haben wir in vertikaler Richtung immer vier Randstrecken mehr als in horizontaler Richtung.

4.2 Flächenanteile

Es wird der Flächenanteil der blauen Figur gemessen an der gelben Quadratfläche ausgezählt.

Bei der Generation 0 ist der Flächenanteil um 1/16 kleiner als die halbe Quadratfläche.

Abb. 6.0: Generation 0

Bei der Generation 1 ist der Flächenanteil um 1/64 kleiner als die halbe Quadratfläche.

Abb. 6.0: Generation 1

Bei der Generation 2 ist der Flächenanteil um 1/256 kleiner als die halbe Quadratfläche.

Abb. 6.0: Generation 2

Bei der Generation 3 ist der Flächenanteil um 1/1024 kleiner als die halbe Quadratfläche.

Abb. 6.0: Generation 3

Vermutung: Der Flächenanteil strebt gegen die halbe Quadratfläche.