Hans Walser, [20130503]
Goldenes Rechteck verallgemeinert
Es werden die Diagonalen-Schnittwinkel im verallgemeinerten Goldenen Rechteck untersucht.
Im Goldenen Rechteck bleibt nach Abschneiden eines Quadrates ein Restrechteck Ÿbrig, das zum Ausgangsrechteck Šhnlich ist.
Abb. 1: Goldenes Rechteck
Mit den Bezeichnungen der Abbildung 1 ergibt sich:
Somit: , also .
Statt einem Quadrat schneiden wir n Quadrate in einer Reihe ab. Die Abbildung 2 illustriert die Situation fŸr den Fall n = 3.
Abb. 2: Drei Quadrate abschneiden
Wir erhalten:
Daraus ergibt sich und:
FŸr n = 0 ergibt sich das Quadrat, fŸr n = 1 das Goldene Rechteck, fŸr n = 2 das so genannte Silberne Rechteck (Abb. 3).
Abb. 3: Silbernes Rechteck
Das Rechteck fŸr n = 3 (Abb. 2) wird gelegentlich als bronzenes Rechteck bezeichnet.
Das Quadrat (n = 0) hat den Diagonalen-Schnittwinkel 90¡ (Abb. 4).
Abb. 4: Orthogonale Diagonalen
Das Goldene Rechteck (n = 1) hat den Diagonalen-Schnittwinkel 63.434948822922¡, eine nicht sehr ansprechende Zahl (Abb. 5).
Abb. 5: Unschšner Schnittwinkel
FŸr das Silberne Rechteck (n = 2) erhalten wir den ãschšnenÒ Diagonalen-Schnittwinkel 45¡ (Abb. 6).
Abb. 6: Schnittwinkel 45¡
FŸr das bronzene Rechteck (n = 3) ergibt sich 33.6900675259793¡ (Abb. 7).
Abb. 7: Kein schšner Schnittwinkel
Lassen sich diese Schnittwinkel einheitlich darstellen?
Den Schnittwinkel bezeichnen wir mit . Da die Rechtecke die LŠnge
und die Hšhe 1 haben, ergibt sich:
Wegen
erhalten wir mit einiger Rechnung:
Es ist also:
Um eine Division durch Null (bei n = 0) zu vermeiden, schreiben wir die Formel noch etwas um:
Die Tabelle gibt die Werte des Diagonalen-Schnittwinkels fŸr n von 0 bis 20.
n |
|
0 |
90¡ |
1 |
63.434949¡ |
2 |
45¡ |
3 |
33.690068¡ |
4 |
26.565051¡ |
5 |
21.801409¡ |
6 |
18.434949¡ |
7 |
15.945396¡ |
8 |
14.036243¡ |
9 |
12.528808¡ |
10 |
11.309932¡ |
11 |
10.304846¡ |
12 |
9.4623222¡ |
13 |
8.7461623¡ |
14 |
8.1301024¡ |
15 |
7.5946434¡ |
16 |
7.1250163¡ |
17 |
6.7098368¡ |
18 |
6.3401917¡ |
19 |
6.009006¡ |
20 |
5.7105931¡ |