Hans Walser, [20240217]

Goldenes Fraktal

1 Konstruktion des Fraktals

Die Abbildung 1 zeigt die Konstruktion des Fraktals für den Verkleinerungsfaktor f = 0.45.

Abb. 1: Konstruktion für f = 0.4

Für f = 0.5 haben die Teilquadrate eine Ecke gemeinsam (Abb. 2). Es entsteht der Eindruck von durchgehenden Linien.

Abb. 2: Gemeinsame Ecke

Für f = 0.55 gibt es eine Überlappung der Teilquadrate (Abb. 3).

Abb. 3: Überlappung

2 Der Goldene Schnitt

Wir bezeichnen den Goldenen Schnitt mit Φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618.

Für f = 1/Φ ≈ 0.618 ergeben sich nach dem zweiten Schritt durchgehende Linien (Abb. 4).

Abb. 4: Goldener Schnitt

3 Trivial

Bei f = 1 ist die Anzahl der gezeichneten Quadrate der Reihe nach 1, 3, 7, 15, 31, ... . Allgemein: 2ⁿ – 1.

Abb. 5: f = 1

4 Negative Faktoren

Bei f = –0.5 werden die Quadrate außen angesetzt (Abb. 6). Wir können die Quadrate daher ausmalen (Abb. 7). Der Umriss des Fraktales ist ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis 2:1.

Abb. 6: f = –0.5

Abb. 7: f = –0.5. Rote Quadrate

5 Negativer Goldener Schnitt

Für f = –1/Φ ≈ –0.618 ergibt sich ein alter Bekannter (Abb. 8). Der Umriss ist ein Goldenes Rechteck.

Abb. 8: Negativer Goldener Schnitt

Weblinks

Hans Walser: Miniaturen: Fraktale

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Fraktale/index.html

Hans Walser: Miniaturen: Goldener Schnitt

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Goldener_Schnitt/index.html