Hans Walser, [20130620]

Gleichschenklige Trisektrix-Dreiecke

Ausarbeitung einer Idee von H. M.-S., V.

1        Trisektrix von MacLaurin

Die beiden Dreieckspunkte A und B seien fest vorgegeben. Der dritte Dreieckspunkt C soll so gewŠhlt werden, dass die entstehenden Dreiecke ABC die Gleichung

 

erfŸllen.

Die Trisektrix ist die Ortskurve des Punktes C.

Die Abbildung 1 zeigt die Trisektrix mit einem allgemeinen Trisektrix-Dreieck.

Abb. 1: Trisektrix

FŸr Punkte C auf der Tropfenschleife gilt in der Bedingung das Plus-Zeichen, au§erhalb der Tropfenschleife das Minuszeichen.

FŸr einen Punkt C auf der Tropfenschleife bedeutet die Bedingung , dass das Quadrat Ÿber c flŠchengleich ist mit der Vereinigung des Quadrates Ÿber a und dem Rechteck Ÿber b mit der zweiten Seite a.


2        Winkelhalbierende

Die  Winkelhalbierende  unterteilt die Seite c in die Abschnitte (Abb. 2):

 

Abb. 2: Winkelhalbierende

FŸr das rote Hochkant-Rechteck mit der Hšhe c erhalten wir wegen  den FlŠcheninhalt:

 

Das blaue Hochkant-Rechteck hat den FlŠcheninhalt:

 

Somit haben gleichfarbige Rechtecke in der Abbildung 2 den gleichen FlŠcheninhalt. Die Situation erinnert an den Kathetensatz.

FŸr einen Punkt C au§erhalb der Tropfenschleife gilt ein analoger Sachverhalt, der aber mit der Šu§eren Winkelhalbierenden und Subtraktionen von FlŠchen arbeitet.


3        Gleichschenklige Trisektrix-Dreiecke

Wir fragen nun speziell nach gleichschenkligen Dreiecken, die der Bedingung  genŸgen.

(i) FŸr a =  b ergibt sich das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck Ÿber c (Abb. 3).

Abb. 3: Rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck

(ii) FŸr a = c wird b = 0.


(iii) FŸr  b = c erhalten wir aus  die Beziehung: . Dabei bedeutet  den Goldenen Schnitt . †ber den Goldenen Schnitt siehe (Walser 2013). Die Abbildung 4 illustriert die Situation. Das Dreieck wird als Spitzes Goldenes Dreieck bezeichnet.

Abb. 4: Spitzes Goldenes Dreieck


(iiii) Ebenfalls fŸr b = c ergibt sich aus  die Beziehung . Wir erhalten das so genannte Stumpfe Goldene Dreieck (Abb. 5).

Abb. 5: Stumpfes Goldenes Dreieck

Damit sind alle gleichschenkligen Dreiecke in unserem Kontext besprochen.


4        Nochmals die Winkelhalbierende

FŸr den Fall des rechtwinklig gleichschenkligen Dreieckes fŠllt die Winkelhalbierende mit der Hšhe zusammen und wir erhalten den Satz des Pythagoras und den zugehšrigen Kathetensatz.

Bei den Goldenen Dreiecken teilt die Winkelhalbierende die Gegenseite innen und au§en im VerhŠltnis des Goldenen Schnittes.

Im Spitzen Goldenen Dreieck ergibt sich die Situation der Abbildung 6, wobei wir c = 1 setzen. Die beiden blauen Rechtecke sind sogar kongruent. Es handelt sich dabei um so  genannte Goldene Rechtecke.

Abb. 6: Unterteilung


Im stumpfen Goldenen Dreieck mŸssen wir mit der Šu§eren Winkelhalbierenden arbeiten. Die Situation ist so vertrackt, dass wir drei Abbildungen benštigen (Abb. 7-9).

Die blauen Rechtecke sind wiederum kongruente Goldene Rechtecke.

Abb. 7: Blau zum ersten

Abb. 8: Blau zum zweiten

Abb. 9: Rot gleich Rot

Die roten Teile sind eine Vergrš§erung der entsprechenden roten Teile der Abbildung 6.


5        Bemerkung

Bei den Trisektrix-Dreiecken gilt auch eine schšne Winkeleigenschaft (Ohne Beweis, siehe Abb. 10).

Abb. 10: Winkeleigenschaft

Damit kann die Trisektrix zur Winkeldrittelung verwendet werden. Der zu Drittelnde Winkel muss bei B eingepasst werden.

Daher der Name Trisektrix.

Literatur

Walser, Hans (6. Auflage). (2013). Der Goldene Schnitt. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.