Hans Walser, [20160531]

Gleiche Sehnen

Idee und Anregung: W. K., F.

1     Problem

Zu zwei Kreisen k1(M1, r1) und k2(M2, r2) soll eine Gerade g durch einen gegebenen Punkt P gefunden werden, welche aus den beiden Kreisen gleich lange Sehnen herausschneidet (Abb. 1).

Abb. 1: Gleich lange Sehnen

2     Experimentelle Lšsung

2.1    Propeller

Wir zeichnen von P aus einen Strahl, welcher den Kreis k2 schneidet, und tragen die SehnenlŠnge von P aus auf dem Strahl ab (Abb. 2).

Abb. 2: SehnenlŠnge

So entsteht eine Kurve mit einer Spitze. Aus Liebe zur Symmetrie spiegeln wie sie an P. Damit erhalten wir einen Propeller (Abb. 3).

Abb. 3: Propeller

2.2    Schnitt zweier Propeller

Wir zeichnen nun fźr beide Kreise je den Propeller (Abb. 4). Die gesuchte Gerade geht durch deren Schnittpunkt. In unserem Beispiel gibt es zwei Lšsungen.

Abb. 4: Lšsungen

3     Zirkel und Lineal

3.1    Potenzgerade

Mit S bezeichnen wir die Mitte zwischen den zwei gleich langen Sehnen (Abb. 5). Der Punkt S hat gegenźber beiden Kreisen die gleiche Potenz, er liegt also auf der Potenzgeraden h der beiden Kreise.

Abb. 5: Potenzgerade

3.2    Mittelparallele

Die Normale in S auf die Gerade g ist Mittelparallele der beiden Mittelsenkrechten der gleich langen Sehnen (Abb. 6). Diese Normale verlŠuft also auch durch den Mittelpunkt O der Strecke M1M2 (StrahlensŠtze). Daher liegt der Punkt S auf dem Thaleskreis t źber der Strecke OP.

Abb. 6: Mittelparallele und Thaleskreis

3.3    Lšsung

Wir finden S also als Schnittpunkt der Potenzgeraden h mit dem Thaleskreis t (Abb. 7). Damit kann g gezeichnet werden. In unserem Beispiel gibt es zwei Lšsungen.

Abb. 7: Lšsung

4     Problemvariante

Gesucht ist eine Gerade g, welche aus beiden Kreisen gleich lange Sehnen herausschneidet und zu einer gegebenen Geraden p parallel ist.

Die Lšsung sei der geneigten Leserin źberlassen.