Hans Walser, [20090526a]

Geometrische Fibonacci-Folge

1        Worum es geht

1.1      Beispiel

Wir arbeiten mit der Matrix

und dem Startvektor:

Damit bilden wir die geometrische Vektorfolge:

Die Folge  lŠsst erkennen,  dass die Vektoren aus den Fibonacci-Zahlen gebildet sind.

Fibonacci-Vektoren

Die Vektoren genźgen der źblichen Fibonacci-Rekursion:

Die Figur zeigt die Vektoren .

Vektoren

Die Vektoren werden zwar immer lŠnger, konvergieren aber gegen eine Grenzrichtung.

Da die Matrix Q regulŠr ist, funktioniert die Folge auch fźr negative Indizes. Als Beispiele :

Negative Indizes

Die folgende Figur zeigt die Vektoren :

Vektoren auch mit negativen Indizes

Die beiden Vektoren  und  sind gleich lang und orthogonal. Der Zwischenwinkel ist alternieren .

Die Matrix q hat folgende Eigenwerte und Eigenvektoren:

Hier erscheint der goldene Schnitt.

Wir normieren die Vektoren  so, dass der obere Eintrag eine 1 wird. Beispiel:

Dann gilt:

Die Vektoren  nŠhern sich also steigungsmŠ§ig den Eigenvektoren, werden aber beliebig lang.

1.2      Beispiel

Wir verwenden die gleiche Matrix Q, aber den Startvektor:

Damit erhalten wir:

Anderer Startvektor

Es handelt sich hier um die Lucas-Zahlen, welche dieselbe Rekursion haben wie die Fibonacci-Zahlen. Die Rekursionsformel steckt offenbar in der Matrix Q. Die beiden Startwerte packen wir in den Startvektor.

2        Allgemein

Wir verwenden die Matrix (der Faktor 2 im Element rechts unten hat nur Šsthetische Bedeutung, die Formeln werden dann einfacher)

und den Startvektor:

Damit bilden wir die geometrische Vektorfolge:

Zum Vergleich verwenden wir die Rekursionsformel

und die Startwerte  und .

Dann gilt:

Beweis induktiv: ZunŠchst ist:

Induktionsschritt:

3        Link mit der Formel von Binet

Eine Folge mit der Rekursion  und den Startwerten  und  kann explizit dargestellt werden durch:

Dabei ist:

Beweis induktiv mit einiger Rechnung.

Wir haben also, ohne die Verwendung der Matrix Q, eine Linearkombination von zwei geometrischen Folgen mit den Basen  und . Diese Basen sind aber genau die Eigenwerte der Matrix Q.