Hans Walser, [20101226a]

Gleichschenkliges Gelenktrapez

Anregung: B. Z., V.

1        Worum geht es?

Aus zwei gegenŸberliegenden Seiten und den beiden Diagonalen eines Rechteckes bilden wir ein Gelenkmodell. Dieses lŠsst sich zu einem gleichschenkligen Trapez verformen.

Gelenktrapez

Im Folgenden werden einige Eigenschaften dieses Gelenktrapezes besprochen.

2        Ma§e und Bezeichnungen

Wir normieren die SchenkellŠnge auf 1 und verwenden die Bezeichnungen der Abbildung.

Bezeichnungen

FŸr (i)  ist das Ausgangsrechteck im Hochformat, fŸr (ii)  haben wir ein Quadrat als Ausgangsrechteck und fŸr (iii)  ist das Ausgangsrechteck im Querformat. Wir werden diese zunŠchst rein geometrische Fallunterscheidung spŠter wieder antreffen.

Weiter ist . FŸr  ist das Trapez ãflachÒ, es hat keinen FlŠcheninhalt. FŸr  haben wir das Ausgangsrechteck.

3        TrapezflŠche

Aus SymmetriegrŸnden ist der FlŠcheninhalt fŸr das Ausgangsrechteck extremal. Die Frage ist, ob es sich dabei um ein (lokales) Maximum oder ein lokales Minimum handelt.

Wir berechnen den FlŠcheninhalt  in AbhŠngigkeit von p. Es ist:

 

 

 

 

 

FŸr die Bestimmung der Extrema genŸgt es, den Radikanden zu untersuchen.

 

 

 

Aus  ergibt sich:

 

Eine erste Lšsung ist . Das ist der Fall des Ausgangsrechteckes. FŸr weitere Lšsungen muss gelten:

 

 

 

Das gibt Anlass zur schon bekannten Fallunterscheidung:

(i)        :    Wir haben drei reelle Lšsungen. Es ist:

 

 

 

FŸr  (symmetrischer Fall des Ausgangsrechteckes) haben wir ein lokales Minimum, links und rechts davon je ein Maximum.

Die Abbildung zeigt die Situation fŸr .

Kamelhšcker. Ausgangsrechteck Hochformat

(ii)       :          In diesem Fall ist . Wir haben eine dreifache Nullstelle der ersten Ableitung. Weiter ist . Wir kšnnen von da her keine Aussage Ÿber die Art des Extremums machen. Es ist aber . FŸr  haben wir daher das Maximum.

Quadrat als Ausgangsrechteck

(iii)      :          In diesem Fall sind  und  rein imaginŠr. Die einzige reelle Extremalstelle ist . Wegen  haben wir ein Maximum. Die Abbildung zeigt die Situation fŸr .

Maximum. Ausgangsrechteck Querformat

4        Ellipsenzirkel

Wir fixieren die Punkte A und D des Ausgangsrechtecks. Dann bewegt sich der Diagonalenschnittpunkt S auf einer Ellipse.

Ellipse

Die  Ellipse hat die Brennpunkte A und D und ist durch  bestimmt. Die TŸcke liegt im Detail: DGS (Cabri) kommt nicht Ÿber den ãtoten PunktÒ hinweg. Daher mŸsste die zweite HŠlfte separat gezeichnet werden.

5        Noch eine Kurve

Es sei V der Mittelpunkt der Seite BC des Gelenktrapezes. Wo bewegt sich der Punkt V bei Fixierung der Punkte A und D?

DGS zeigt das Beispiel fŸr . Wiederum kann wegen des toten Punktes nur eine HŠlfte generiert werden.

Noch eine Kurve

Wir kšnnen die Kurve parametrisieren, indem wir  setzen. Dabei ist  der Winkel des Gelenktrapezes an der Ecke A. Mit U als Mittelpunkt der Seite DA ist die Strecke UV die Mittellinie des Gelenktrapezes. Diese hat die LŠnge:

 

Ferner hat die Mittellinie gegenŸber der Vertikalen den Winkel . Mit  und  ergibt sich fŸr die gesuchte Kurve die Parameterdarstellung:

 

 

Die Abbildungen zeigen der Reihe nach die Situationen fŸr . Es ist interessant, sich den Fall  als Gelenkmodell vorzustellen.

Mittelpunktskurven