Hans Walser, [20051023a], [20150111]

RŠumliches Gelenkmodell

Anregung: K. E., D.

1        Aneinanderheften von Rechtecken

Wir heften schrittweise sechs kongruente Rechtecke in den Farben blau, rot, gelb, blau, rot, gelb mit Scharnieren aneinander gemŠ§ Figur.

 

Aneinanderheften von Rechtecken

 

Das geht zunŠchst problemlos, aber nach vier Schritten schlie§t sich die ebene Figur. Das fźnfte und das sechste Rechteck muss źber das erste beziehungsweise zweite Rechteck gelegt werden. Wenn wir jetzt das sechste Rechteck an das erste anheften wollen, spreizt sich die Konfiguration in den Raum.

Dabei gibt es zwei Mšglichkeiten,  eine stabile und eine bewegliche.

2        Stabile Situation

 

Stabile Situation

 

†berlegungsfigur

 

In der stabilen Situation haben wir an den Scharnieren abwechslungsweise rechte Winkel nach oben und nach unten. Die Ebenen gleicher Farbe sind parallel.

Wir kšnnen genau einen Wźrfel einpassen. Die Rechtecke laufen lŠngs des Umrisssechseckes des Wźrfels.

Die eingezeichneten lila Strecken haben trotz der Scharniere konstante LŠngen. Sie sind die Kanten eines (nicht regelmŠ§igen) Oktaeders. Das erklŠrt die StabilitŠt der Konfiguration. 

3        Bewegliche Konfiguration

 

    

Bewegliche Konfiguration. Grundstellung  und bewegte Situation

 

†berlegungsfigur

 

Die Rechtecke sind weniger regelmŠ§ig angeordnet. Die beiden roten Rechtecke und die beiden gelben Rechtecke liegen nicht mehr in parallelen Ebenen.

Wir kšnnen zwar wieder einen Wźrfel einpassen, aber dieser liegt weniger ămittigŇ in der Konfiguration. Die lila Strecken konstanter LŠnge definieren keine stabile Figur. Dabei ist zu beachten, dass die lila ăDiagonalenŇ nur virtuell sind und sich daher problemlos gegenseitig durchdringen kšnnen. Es ist aber keineswegs trivial, dass die Figur der zwšlf lila Kanten konstanter LŠnge mit gelenkigen Eckverbindungen beweglich ist. Wir haben auf der Basis eines Recheckes (mit dem SeitenverhŠltnis 1 zu ) zwei verschiedene Vierseit-Pyramiden.

 

Die beiden Pyramiden

 

Diese beiden Pyramiden liegen (unter anderem) rŠumlich achsensymmetrisch zu einander. Die Symmetrieachse ist die gemeinsame Normale der beiden Diagonalen des Bodenrechteckes. Bei einer solchen Bewegung bleibt das Bodenviereck nicht mehr ein ebenes Rechteck. Die Diagonalen werden windschief. Eine Bewegung der einen Pyramide kann durch eine achsensymmetrische Bewegung der anderen Pyramide aufgefangen werden. Beim Oktaeder des stabilen Falles sind die beiden Pyramiden auf  verschiednen Seiten der GrundflŠche, was eine Bewegung verunmšglicht.

Wir kšnnen nun in der beweglichen Konfiguration ein blaues Rechteck festhalten und mit dem anderen eine achterfšrmige Schaukelbewegung durchfźhren.

Die stabile und die labile Situation kšnnen nicht in einander źbergefźhrt werden.

4        Mechanische Realisation

Dieses Gelenkmodell kann auch mit wenig Aufwand mechanisch konstruiert werden. Am besten eignen sich dazu Bauteile eines alten Meccano Baukastens, der sich auf dem Dachboden befindet. Dieses Modell ist die Bricardsche Sechsgelenkkette oder der sechsgliedrige Gelenkring nach Paul Schatz.

Das folgende Bild zeigt links die stabile Situation. Die Figur kann problemlos zu einem Wźrfel ergŠnzt werden.

 

    

Stabile Situation und bewegliche Konfiguration

 

Durch …ffnen eines Gelenkes, Umstecken und wieder Schlie§en ergibt sich die bewegliche Konfiguration (rechts). In der Grundstellung kann ebenfalls ein Wźrfel hineingedacht werden.

Die folgenden zwei Bilder zeigen eine aus einer Bewegung hervorgegangene Situation in zwei verschiedenen Ansichten.

 

    

Nach einer Bewegung

 

5        Verallgemeinerung

Wir kšnnen unsere sechs Rechtecke durch Parallelogramme ersetzen. Auch dann gibt es eine stabile und eine bewegliche Situation. Anstelle eines Wźrfels kann in der stabilen Situation ein Rhomboeder, also ein von sechs kongruenten Rhomben berandeter Kšrper, eingesetzt werden. In der beweglichen Situation sehe ich nicht durch.