1 Entstehung der Geisterkurven

Die Abbildung 1 zeigt die Funktionsgrafen von y = cos(nt), t = 0 .. 2π, für n = 0 .. 30. Mit der Zeit werden Geisterkurven sichtbar.

Abb. 1: Entstehung der Geisterkurven

2 Passages obligés

Es gibt Stellen im Parameterintervall, wo die Funktionskurven nur wenige Passiermöglichkeiten haben.

Am Anfang und am Ende des Parameterintervalls gibt es nur eine Möglichkeit (nämlich oben) (Abb. 2.1).

Abb. 2.1: Anfang und Ende

In der Halbzeit gibt es nur zwei Möglichkeiten (oben und unten) (Abb. 2.2).

Abb. 2.2: In der Mitte

Beim ersten und beim zweiten Drittel gibt es nur je zwei Möglichkeiten (oben und halb unten auf einer Geisterlinie) (Abb. 2.3).

Abb. 2.3: Drittel

Wegen 4 = 2•2 haben wir beim Vierteln nochmals die beiden Möglichkeiten in der Mitte. Bei den „echten“ Vierteln haben wir je drei Möglichkeiten.

Abb. 2.4: Viertel

Die Zahl Fünf ist eine Primzahl. Daher haben wir bei allen Fünfteln die gleichen drei Möglichkeiten. Die beiden senkrechten Strecken zwischen drei übereinanderliegenden roten Punkten sind im Teilverhältnis des Goldenen Schnittes.

Abb. 2.5: Fünftel

Wegen 6 = 2•3 haben wir nochmals die Situationen vom Halbieren und vom Dritteln. Dazu bei den „echten“ Sechsteln je vier Möglichkeiten.

Abb. 2.6: Sechstel

Die folgenden Beispiele ohne Kommentar.

Abb. 2.7

Abb. 2.8

Abb. 2.9

Abb. 2.10

Abb. 2.11

Abb. 2.12

Die maximale Anzahl p der Passage-Möglichkeiten ist beim Unterteilen des Parameterintervalls in n Teile ist p = 1 + trunc(n/2). (trunc bedeutet abrunden)

Die Abbildung 3 zeigt die Passage-Möglichkeiten im Schnelldurchgang.

Abb. 3: Passage-Möglichkeiten

Die Abbildung 4 gibt die Passage-Möglichkeiten kumulativ.

Abb. 4: Kumulativ

Weblink

Hans Walser: Geisterkurven

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Geisterkurven/Geisterkurven.htm