Hans Walser, [20131110]

Ganze Zahlen im gleichseitigen Dreieck

1     Basisfigur

Die Abbildung 1 zeigt die Basisfigur. In einem gleichseitigen Dreieck der SeitenlŠnge 8 kšnnen wir Ecktransversalen der SeitenlŠnge 7 einzeichnen. Beweis durch Nachrechnen.

Abb. 1: Basisfigur

Die Abbildung 2 zeigt dasselbe als Lochstreifenmodell.

Abb. 2: Lochstreifenmodell


2     Dreieck im Dreieck

In der Abbildung 3 ist einem gleichseitigen Dreieck der SeitenlŠnge 11 ein gleichseitiges Dreieck der SeitenlŠnge 7 einbeschrieben.

Abb. 3: Einbeschriebenes Dreieck

Die Abbildung 4 zeigt dasselbe als Lochstreifenmodell.

Abb. 4: Lochstreifenmodell


3     Sechseck im Sechseck

Die Abbildung 5 zeigt ein Sechseck mit SeitenlŠnge 8 mit einbeschriebenem Sechseck der SeitenlŠnge 7.

Abb. 5: Einbeschriebenes Sechseck

Die Abbildung 6 zeigt das entsprechende Lochstreifenmodell.

Abb. 6: Lochstreifenmodell

4     Hintergrund

4.1    Generierende Formeln

Analog zu den pythagoreischen rechtwinkligen Dreiecken gibt es pythagoreische Dreiecke mit einem Winkel von 60ˇ oder von 120ˇ. Das geht so: Wir wŠhlen zwei Zahlen mit folgenden Eigenschaften: , ,

Nun berechnen wir a, b, c nach einem der drei FormelsŠtze (i), (ii), (iii).

(i):      

(ii):     

(iii):    

In den FŠllen (i) und (ii) erhalten wir ein Dreieck mit dem Winkel , im Fall (iii) ein Dreieck mit dem Winkel . Der Nachweis kann mit dem Kosinussatz gefźhrt werden.

Alle drei FormelsŠtze sind homogen vom zweiten Grad.

Formelsatz (i) ist symmetrisch in u und v. Hier kann die Bedingung weggelassen werden.

Aus dem Formelsatz (ii) ergibt sich fźr u = 1 und v = 0 das gleichseitige Dreieck der SeitenlŠnge 1.

Ich wei§ nicht, ob man mit diesen Formeln alle pythagoreischen Dreiecke mit Winkeln von 60ˇ oder 120ˇ erhŠlt.

4.2    Beispiel

Wir wŠhlen jeweils u = 2 und v = 1.

Formelsatz (i) liefert: a = 8, b = 5 und c = 7. Die Abbildung 7, welche auf der Abbildung 1 basiert, zeigt das Dreieck.

Abb. 7: 8-5-7-Dreieck


Formelsatz (ii) ergibt: a = 3, b = 8 und c = 7 (Abb. 8). Das Dreieck ist komplementŠr zum Dreieck der Abbildung 7.

Abb. 8: 3-8-7-Dreieck

Formelsatz (iii) fźhrt zu: a = 3, b = 5 und c = 7 (Abb. 9). Das Dreieck ergibt sich aus dem Dreieck der Abbildung 7 oder 8 durch Abschneiden eines gleichseitigen Dreieckes.

Abb. 9: 3-5-7-Dreieck


Die Tabelle gibt die ersten nach Formelsatz (i) berechneten Werte.

 

u

v

a

b

c

1

0

1

0

1

2

1

8

5

7

3

1

15

7

13

3

2

21

16

19

4

3

40

33

37

5

1

35

11

31

5

3

55

39

49

5

4

65

56

61

6

1

48

13

43

6

5

96

85

91

7

2

77

32

67

7

3

91

51

79

7

5

119

95

109

7

6

133

120

127

8

1

80

17

73

8

3

112

57

97

8

7

176

161

169

9

1

99

19

91

9

2

117

40

103

9

4

153

88

133

9

5

171

115

151

9

7

207

175

193

9

8

225

208

217

10

3

160

69

139

10

9

280

261

271

Tab. 1: Nach Formelsatz (i)


Literatur

[Hasse 1977]         Hasse, Helmut: Ein Analogon zu den ganzzahligen pythagorŠischen Dreiecken. Elemente der Mathematik 32 (1977), Seiten 1-6.

[Hoehn/Walser 2003]            Hoehn, Alfred und Hans Walser: Gittergeometrie und pythagoreische Dreiecke. Praxis der Mathematik (5/45), 2003, S. 215 – 217

[Walser 1995]        Walser, Hans: Pythagoreische Dreiecke in der Gittergeometrie. Didaktik der Mathematik (23), 1995, Seiten 193 - 205.

[Walser 1999]        Walser, Hans: Pythagoreische Dreiecke und Gittergeometrie. BeitrŠge zum Mathematikunterricht 1999. VortrŠge auf der 33. Tagung fźr Didaktik der Mathematik vom 1. bis 5.3.1999 in Bern. Fźr die GDM herausgegeben von Michael Neubrand. Hildesheim: Franzbecker, 1999. ISBN 3-88120-304-4. S. 575-577

[Walser 2000]        Walser, Hans: Lattice Geometry and Pythagorean Triangles. ZDM Zentralblatt fźr Didaktik der Mathematik. Jahrgang 32, April 2000, Heft 2, S. 32 - 35