Hans Walser, [20160623]

Folgen

1     Worum es geht

Wir bearbeiten Folgen an mit dem Startwert a0 und der Rekursion:

 

                                                                                                                 (1)

 

Es handelt sich also um eine Mischform von geometrischer und arithmetischer Folge.

2     Explizite Form

Es ist:

 

                   (2)

 

 

 

 

 

 

Allgemein ist fźr :

 

                                                                               (3)

 

 

Durch Umformen ergibt sich:

 

                                                                                                  (4)

 

 

Es handelt sich also im Wesentlichen um eine geometrische Folge.

3     Summenfolge

Wir berechnen die Summenfolge sn:

 

                                                                                                                      (5)

 

 

Es ist:

 

                 (6)

 

 

 

 

 

 

Allgemein:

 

                                                                                       (7)

 

 

Umformen ergibt:

 

                                                                     (8)

 

 

 

4     Numerische Beispiele

Fźr a0 = 1, f = 2 und d = 1 ergeben sich die Werte der Tabelle 1.

 

n

an

sn

0

1

1

1

3

4

2

7

11

3

15

26

4

31

57

5

63

120

Tab. 1

Fźr a0 = 1, f = 2 und d = 0 ergeben sich die Werte der Tabelle 2.

 

n

an

sn

0

1

1

1

2

3

2

4

7

3

8

15

4

16

31

5

32

63

Tab. 2

Fźr a0 = 1, f = 1 und d = 1 ergeben sich die Werte der Tabelle 3.

 

n

an

sn

0

1

1

1

2

3

2

3

6

3

4

10

4

5

15

5

6

21

Tab. 3

Fźr a0 = 1, f = 0.9 und d = 0.1 ergeben sich die Werte der Tabelle 4. Die Folge an ist konstant.

 

n

an

sn

0

1

1

1

1.0

2.0

2

1.00

3.00

3

1.000

4.000

4

1.0000

5.0000

5

1.00000

6.00000

Tab. 4

Fźr a0 = 1, f = 9/10 und d = 1/10 ergeben sich die Werte der Tabelle 5. Die Folge an ist konstant. Der Unterschied zu den Werten der Tabelle 4 ergibt sich durch eine unterschiedliche Rechenart (Brźche statt Dezimalzahlen)

 

n

an

sn

0

1

1

1

1

2

2

1

3

3

1

4

4

1

5

5

1

6

Tab. 5

Bei anderen Startwerten steigt oder fŠllt die Folge.

Fźr a0 = 0.5, f = 0.9 und d = 0.1 ergeben sich die Werte der Tabelle 6. Die Folge an steigt, hat aber die Obergrenze 1.

 

n

an

sn

0

0.5

0.5

1

0.55

1.05

2

0.595

1.645

3

0.6355

2.2805

4

0.67195

2.95245

5

0.704755

3.657205

Tab. 6

Fźr a0 = 1.5, f = 0.9 und d = 0.1 ergeben sich die Werte der Tabelle 7. Die Folge an fŠllt, hat aber die Untergrenze 1.

 

n

an

sn

0

1.5

1.5

1

1.45

2.95

2

1.405

4.355

3

1.3645

5.7195

4

1.32805

7.04755

5

1.295245

8.342795

Tab. 7