Hans Walser, [20150406]

Flossen

Anregung: H. M-S., V.

1     Quadratpaar

Wir beginnen mit zwei Quadraten, welche eine Ecke gemeinsam haben, und fŸllen dazwischen mit Dreiecken (Flossen) aus (Abb. 1).

 

Abb. 1: Rote und blaue Flosse

 

Die rote und die blaue Flosse haben denselben FlŠcheninhalt. Dies kann durch Einbetten der Figur in ein Parkett eingesehen werden (Abb. 2). Die beiden Flossen sind je ein halbes Parallelogramm.

 

Abb. 2: Parkett

 

Die Hšhe einer Flosse durch die gemeinsame Ecke ist auf derselben Geraden wie die Schwerlinie der anderen Flosse (Abb. 3). Dies folgt daraus, dass die Parallelogramme im Parkett der Abbildung 2 in zwei zueinander um 90¡ verdrehten Positionen vorkommen.

 

Abb. 3: Hšhen und Schwerlinien

 

2     Flossen am Dreieck

Wir setzen einem beliebigen Dreieck Quadrate an (es handelt sich nicht um den Pythagoras) und fŸllen zwischen den Quadraten mit Flossen auf (Abb. 4).

 

Abb. 4: Dreieck mit Flossen

 

Die Flossen haben nach Abschnitt 1 je denselben FlŠcheninhalt wie das Dreieck, sind also untereinander gleich gro§. Die FlossenflŠchensumme ist das Dreifache der DreiecksflŠche.

3     Flossen am Viereck

Die Abbildung 5 zeigt die Situation fŸr ein konvexes Viereck. Die einzelnen Flossen sind nicht mehr flŠchengleich.

 

Abb. 5: Viereck mit Flossen

 

Hingegen sehen wir aus der Abbildung 6, dass die FlŠchensumme gegenŸberliegender Flossen gleich gro§ ist wie die ViereckflŠche.

 

Abb. 6: GegenŸberliegende Flossen

 

Die Summe aller FlossenflŠchen ist daher das Doppelte der ViereckflŠche.

Bei nicht konvexen Vierecken mŸssen wir mit orientierten FlossenflŠcheninhalten arbeiten.

Im Sonderfall des Parallelogramms haben wir aber vier gleich gro§e Flossen (Abb. 7).

 

Abb. 7: Sonderfall Parallelogramm

 

Die Flossen sind je das halbe Parallelogramm (Halbierung durch Diagonalen).

4     AffinregulŠre Vielecke

FŸr beliebige Vielecke mit Eckenzahl grš§er oder gleich fŸnf habe ich keine schšne Eigenschaft der Flossen gefunden.

Hingegen gilt: Bei einem affinregulŠren n-Eck (affinregulŠre Vielecke sind affine Bilder von regulŠren Vielecken) sind alle Flossen gleich gro§. Das VerhŠltnis einer FlossenflŠche zur FlŠche des affinregulŠren n-Eckes ist . Dieses VerhŠltnis ist also unabhŠngig von der Form des affinregulŠren Vieleckes. Wir haben eine Flosseninvariante.

Die Abbildung 8 illustriert die Situation fŸr ein affinregulŠres Siebeneck.

 

Abb. 8: AffinregulŠres Siebeneck. FlŠchengleiche Flossen

 

FŸr den Beweis halten wir zunŠchst einmal die FlŠchengleichheit gemŠ§ Abbildung 9 fest.

 

Abb. 9: FlŠchengleichheit

 

Nun sind aber in einem affinregulŠren Vieleck sŠmtliche Dreiecke, welche von zwei aufeinanderfolgenden Seiten aufgespannt werden, flŠchengleich. Daher sind auch alle Flossen flŠchengleich. Die VerhŠltniszahl  lŠsst sich aus dem Sonderfall des regulŠren Vieleckes ermitteln.