Hans Walser, [20201206]

FlŠchenschwerpunkt Trapez

Aufgabe 55 – 657 von Thomas Jahre

1     Aufgabenstellung

GrŸnes Trapez ABCD in der Ÿblichen Beschriftung.

Was hat es mit dem Punkt X auf sich (Abb. 1)?

Abb. 1: Was ist mit dem Punkt X los?

2     Bearbeitung

Der Punkt X ist der FlŠchenschwerpunkt des Trapezes.

Man beachte, dass bei einem Viereck (allgemein bei einem Vieleck mit mehr als drei Ecken) der FlŠchenschwerpunkt in der Regel nicht der Eckenschwerpunkt ist. Das Ausmitteln der Eckpunktkoordinaten gibt den Eckenschwerpunkt, aber in der Regel nicht den FlŠchenschwerpunkt. Lediglich beim Dreieck fallen FlŠchenschwerpunkt und Eckenschwerpunkt immer zusammen.

2.1    Die schnelle Lšsung

Bei GeoGebra gibt es den Befehl ãSchwerpunkt(<Vieleck>)Ò. Er liefert den FlŠchenschwerpunkt.

2.2    Lege artis

Die ganze chose ist affin invariant. Das ist zunŠchst unglaubwŸrdig wegen der beiden Kreise, die natŸrlich nicht affin invariant sind. Sie dienen aber lediglich dazu, die StreckenlŠngen a beziehungsweise c auf dazu parallelen Geraden abzutragen. Das ist affin invariant.

Wir kšnnen die relevanten Teile der Figur also mit einer affinen Abbildung standardisieren gemŠ§ Abbildung 2. Das Parallelogramm AICK wird auf das Einheitsquadrat abgebildet. Das hat den Vorteil, dass die Rechnungen etwas einfacher gehen.

Wir haben einen Parameter t im Spiel.

Abb. 2: Affine Standardisierung

FŸr X ergibt sich:

 

                                                                                                           (1)

 

 

 

 

Wir mŸssen nun nachweisen, dass dies der FlŠchenschwerpunkt des grŸnen Trapezes ist. Wie gesagt, dŸrfen wir nicht einfach die Eckpunktkoordinaten ausmitteln (sonst wŠre ja X auf halber Hšhe, was offensichtlich nicht stimmt).


 

Die Berechnung des FlŠchenschwerpunktes geht in zwei Schritten (die beiden Schritte gestatten analog eine geometrische Konstruktion des FlŠchenschwerpunktes).

Erster Schritt: wir zerlegen das Trapez mit der senkrechten Diagonalen in zwei Dreiecke (Abb. 3).

Abb. 3: Zerlegung in Dreiecke

In jedem der beiden Dreiecke berechnen wir den Dreieckschwerpunkt. Da wir bei Dreiecken die Eckpunktkoordinaten ausmitteln kšnnen, ist das dank der Standardisierung eine Kopfrechnung. Dann berechnen wir die Gerade durch die beiden Dreieckschwerpunkte (rot in Abb. 3). Der optische Befund zeigt, dass diese offenbar durch X verlŠuft. Das hat keine Beweiskraft, ist aber beruhigend.

Die rote Gerade ist Ÿbrigens parallel zur Quadratdiagonalen von links unten nach rechts oben. Dies ist eine Folge der Standardisierung.


 

Zweiter Schritt: wir wiederholen dasselbe Spielchen mit der andren Trapezdiagonalen (Abb. 4).

Abb. 4: Andere Zerlegung

Die rote Gerade ist jetzt senkrecht.

Nun schneiden wir die beiden roten Geraden und erhalten tatsŠchlich X gemŠ§ (1).

Quod erat demonstrandum.

 

 

Literatur

Fritsch, Rudolf (2012): Zum FlŠchenschwerpunkt fŸr Vierecke. Der mathematische und natur-wissenschaftliche Unterricht 65, 2012, S. 464–465.

Fritsch, Rudolf und Pickert, GŸnter (2014): Schwerpunkte von Vierecken. Die Wurzel, Heft 2 / 2014, 35-41.

Kirsch, A. (1987): Bemerkungen zum Vierecksschwerpunkt. Didaktik der Mathematik, 15, 34-36.

Kratz, Johannes (1994): ãDas SchwerpunktsviereckÒ – Eine ErgŠnzung zum Beitrag von Karl Seebach Ÿber Viereckschwerpunkte. Didaktik der Mathematik 22, 1994, S. 316–317.

Pickert, GŸnter (2013): Zu: Zum FlŠchenschwerpunkt fŸr Vierecke. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 66, 2013, Seiten 51–52.

Seebach, Karl (1983): †ber Schwerpunkte von Dreiecken, Vierecken und Tetraedern, Teil 1.  Didaktik der Mathematik 11, 1983, S. 270–282.

Seebach, Karl (1994): Nochmals: Viereckschwerpunkte. Didaktik der Mathematik 22, 1994,  S. 309–315.

Walser, Hans (2012): Schwerpunkt. Mathematikinformation, 57, 14-22. ISSN 1612-9156.

Walser, Hans (2014): FlŠchenschwerpunkte. MNU, Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht. 67. Dezember 2014, S. 466-467.

 

 

 

Weblinks

 

Thomas Jahre: Aufgabe der Woche

https://www.schulmodell.eu/aufgabe-der-woche.html

 

Thomas Jahre:

https://www.schulmodell.eu/unterricht/faecher/mathematik/wochenaufgabe/serie-55.html?start=8

 

Hans Walser: Schwerpunkte im Viereck

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Schwerpunkte_Viereck/Schwerpunkte_Viereck.htm