Hans Walser, [20100306a]
FlŠchenhalbierende
Jede Gerade durch das
Symmetriezentrum S einer
punktsymmetrischen Figur zerlegt diese in zwei flŠchengleiche Teile.
FlŠchenhalbierung
Wir gehen aus von einer
Figur mit der Eigenschaft, dass es einen Punkt S gibt so dass jede Gerade durch diesen Punkt die Figur in zwei
flŠchengleiche Teile zerlegt. Die Frage ist, ob das eine punktsymmetrische
Figur sein muss.
Die Frage ist zu
verneinen. Ein einfaches Gegenbeispiel besteht aus einem Halbkreis mit dem
Radius 1 und einem ergŠnzenden Halbkreisring mit dem Innenradius 1 und dem
Au§enradius . Der Punkt S ist das
gemeinsame Zentrum von Halbkreis und Halbkreisring.
Gegenbeispiel
Die Gleichsetzung der
FlŠcheninhalte geht sektorenweise. Ein Sektor mit Sektorwinkel (Bogenma§) und
Radius 1 hat den FlŠcheninhalt . Der gegenŸberliegende Ringsektor mit dem gleichen
Sektorwinkel , dem Au§enradius und dem
Innenradius 1 hat den FlŠcheninhalt .
Das Beispiel lŠsst sich
verallgemeinern: Halbkreisradius a,
Innenradius b und Au§enradius c des Halbkreisringes mit der Nebenbedingung . Pythagoras lŠsst grŸ§en.
Wem dieses
Gegenbeispiel immer noch zu symmetrisch ist: auch folgendes Gegenbeispiel
funktioniert. Der Sektorradius ist 1, beim kleinen Kreisringsektor haben wir
den Innenradius und den
Au§enradius und beim gro§en
Kreisringsektor den Innenradius und den
Au§enradius .
Gegenbeispiel
Und schlie§lich ein
eher systematisches Gegenbeispiel. Die verwendeten Radien sind .
Gegenbeispiel
Wir kšnnen in diesem
Gegenbeispiel Ehrenrunden einbauen:
Zwei Runden
Dasselbe mit
kontinuierlichem Wachstum der Radien:
Kontinuierliches
Wachstum
Zu jedem Gebiet gibt es
zu jeder Richtung eine flŠchenhalbierende Gerade (Vorstellung: Gerade parallel
verschieben, bis FlŠche halbiert wird). Die flŠchenhalbierenden Geraden zu
verschiedenen Richtungen verlaufen aber in der Regel nicht durch denselben
Punkt.
Wir zeichnen nun zu einem
Gebiet zwei flŠchenhalbierende Geraden. Diese bilden vier Sektoren gemŠ§
Abbildung. Jeder Sektor enthŠlt Teile des Gebietes, wobei die Teile nicht
zusammenhŠngen sein mŸssen. Wir nummerieren die Teile mit ršmischen Nummern und
allenfalls ZusŠtzen a, b, c, ... .
Zwei FlŠchenhalbierende
Nun messen die Teile
I+II sowie II+III je die halbe FlŠche. Daher sind I und III flŠchengleich.
Analog sind II und IV flŠchengleich. Gegensektoren beinhalten flŠchengleiche
Teile.
Wenn eine Figur nun die
Eigenschaft hat, dass sŠmtliche FlŠchenhalbierenden durch denselben Punkt S verlaufen, beinhalten Gegensektoren mit der Spitze S immer flŠchengleiche Teile.
GrŸn = Gelb
Ein konvexes Gebiet
lŠsst sich mit einem beliebig im Innern gewŠhlten Ursprung durch eine positive
2¹-periodische Funktion beschreiben.
FŸr den FlŠcheninhalt A des Gebietes gilt als Ableger der Integralformel von
Stokes die Formel:
FŸr einen infinitesimal
kleinen Sektor erhalten wir daher:
Wenn nun Gegensektoren
gleiche FlŠchen beinhalten, folgt:
Die letzte Gleichung
bedeutet, dass das Gebiet punktsymmetrisch ist. Somit gilt:
Ein
konvexes Gebiet mit der Eigenschaft, dass es einen Punkt S gibt so dass jede Gerade durch diesen Punkt das
Gebiet in zwei flŠchengleiche Teile zerlegt, ist punktsymmetrisch. Der Punkt S ist das Symmetriezentrum.
Die Gegenbeispiele
kšnnen nicht konvex sein.
Den oben vorgestellten
Gegenbeispielen ist gemeinsam, dass ein von S ausgehender Strahl ãin gleichen Zeiten gleiche FlŠchen ŸberstreichtÒ.
Anders formuliert:
Diese Gegenbeispiele
sind also sehr nahe beim Kreis. Sie haben neben der Halbierungseigenschaft auch
zum Beispiel eine Drittelungseigenschaft: Drei Strahle, welche von S in regelmŠ§igen Winkeln ausgehen (ãMercedes-SternÒ),
dritteln die GebietsflŠche.
GrŸn = Gelb = Magenta
Ein Gegenbeispiel ohne
diese Drittelungseigenschaft kann so aussehen:
Noch ein Gegenbeispiel
In der oberen Halbebene
haben wir die archimedische Spirale mit dem Radius . In der unteren Halbebene arbeiten wir mit dem Innenradius . Die innere Kurve ist also die Fortsetzung der
archimedischen Spirale in der oberen Halbebene. FŸr den Au§enradius verwenden
wir mit:
Wir kšnnen analoge
†berlegungen anstellen, indem wir die flŠchenhalbierenden Geraden ersetzen
durch zum Beispiel Strahlentripel oder allgemein Strahlen-k-Tupel, welche unter regelmŠ§igen Winkeln von S ausgehen. Im konvexen Fall fŸhrt das zu Figuren mit k-strahliger Drehsymmetrie.