Hans Walser, [20240311], [20240421]

Flächengleichheit

Idee und Anregungen:

Thomas Jahre, Chemnitz

Hartmut Müller-Sommer, Vechta

 

1     Worum es geht

Ein Flächensatz im rechtwinkligen Dreieck.

Möndchen des Hippokrates.

Zerlegungsgleichheit.

2     Konstruktion

In einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck zeichnen wir den Inkreis (Abb. 1).

Abb. 1: Inkreis im rechtwinkligen Dreieck

Der Berührungspunkt des Inkreises mit der Hypotenuse teilt diese in zwei Abschnitte. Wir zeichnen das Rechteck aus diesen beiden Hypotenusenabschnitten (Abb. 2).

Abb. 2: Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten

3     Flächengleichheit

Das gelbe Dreieck und das blaue Rechteck haben denselben Flächeninhalt (Abb. 3).

Abb. 3: Flächengleichheit

4     Rechnerischer Beweis

Wir bezeichnen die Katheten mi a und b. Für die Hypotenuse c gilt nach dem Satz des Pythagoras c = √(a2+ b2). Weiter sei s der halbe Umfang des Dreieckes, also s = ½(a + b +c). Die beiden Hypotenusenabschnitte haben die Länge (s – a) und (s – b). Dies ergibt sich aus der Theorie des Inkreises im Dreieck.

Für den Flächeninhalt des blauen Rechteckes erhalten wir somit:

 

Flächeninhalt des blauen Rechteckes = (s – a)(s – b)

 

= s2 – sa – sb + ab

 

            = ¼(a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc) – ½(a2 + ab + ac) – ½(ab + b2 + bc) + ab

 

            = ¼(a2 + b2 + a2 + b2 + 2ab + 2ac + 2bc) – ½(a2 + ab + ac) – ½(ab + b2 + bc) + ab

 

            = ¼(2a2 + 2b2 + 2ab + 2ac + 2bc) – ½(a2 + ab + ac) – ½(ab + b2 + bc) + ab

 

            = ½(a2 + b2 + ab + ac + bc) – ½(a2 + ab + ac) – ½(ab + b2 + bc) + ab

 

            = ½ab

 

Das gelbe rechtwinklige Dreieck hat ebenfalls den Flächeninhalt ½ab. Damit ist die Flächengleichheit gezeigt.

5     Anhängen des Höhensatzes

Mit dem Höhensatz können wir das blaue Rechteck in ein flächengleiches Quadrat umformen. Damit haben wir eine Konstruktion, welche die Dreiecksfläche direkt in eine Quadratfläche umformt (Abb. 4).

Abb. 4: Vom Dreieck zum Quadrat

6     Andere Anordnung

Die Hypotenusenabschnitte erscheinen auch auf den Katheten als gleich lange Tangentenabschnitte an den Inkreis. Daher können wir das blaue Rechteck anders anordnen (Abb. 5). Der Inkreismittelpunkt ist jetzt eine Ecke des Rechteckes.

Abb. 5: Andere Anordnung

Die Abbildung 6 gibt einen Hinweis auf die Zerlegungsgleichheit.

Abb. 6: Zerlegung

7     Möndchen des Hippokrates

Auch die sind immer wieder lustig (Abb. 7).

Abb. 7: Möndchen des Hippokrates

8     Zerlegungsgleichheit

Für die Illustration der Zerlegungsgleichheit verwenden wir eine Gegenüberstellung in einer anderen Anordnung (Abb. 8).

Abb. 8: Andere Anordnung

Damit ergibt sich eine gemeinsame Zerlegung (Abb. 9).

Abb. 9: Gemeinsame Zerlegung

In der Überlagerung der beiden Figuren der Abbildung 9 erscheinen zwei Schmetterlinge (Abb. 10). Die Symmetrieachsen der beiden Schmetterlinge schneiden sich auf dem Umkreis.

Abb. 10: Schmetterlinge

 

Links

Thomas Jahre: Aufgabe der Woche

https://www.schulmodell.eu/aufgabe-der-woche.html

Hans Walser: Flächengleichheit

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Flaechengleichheit4/Flaechengleichheit4.html

Hans Walser: Inkreis und Umkreis

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Inkreis_und_Umkreis/Inkreis_und_Umkreis.html