Hans Walser, [20240220]

Zopf

Anregung: Jo Niemeyer, Berlin

1 Worum es geht

Spielerei mit geometrischen Folgen von Quadraten und Würfeln. Spezielle Anordnung im Zickzack. Goldener Schnitt.

2 Quadrate

2.1 Beispiele

Mit dem Skalierungsfaktor 0.8 von einem Quadrat zum folgenden ergibt sich die Figur der Abbildung 1. Obwohl wir unendlich viele Quadrate haben (wenigstens andeutungsweise), bleibt die Figur endlich.

Abb. 1: Skalierungsfaktor 0.8

Ohne Skalierung (also mit Skalierungsfaktor 1) erhalten wir eine Zickzack-Anordnung (Abb. 2). Die Figur läuft ins Unendliche, man kann nur einen Ausschnitt darstellen.

Abb. 2: Zickzack

Der Skalierungsfaktor ½ ergibt die Figur der Abbildung 3.

Abb. 3: Skalierung ½

2.2 Goldener Schnitt

Nun arbeiten wir mit dem Goldenen Schnitt Φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618.

Der Skalierungsfaktor 1/Φ ≈ 0.618 ergibt das Goldene Rechteck (Abb. 4). Die Seitenlänge eines Quadrates ist jeweils die Summe der Seitenlängen der beiden nachfolgenden Quadrate (wie man sofort sieht).

Abb. 4: Goldenes Rechteck

Die Abbildung 5 zeigt die Figur mit dem Skalierungsfaktor √(1/Φ) ≈ 0.786. Der Flächeninhalt eines Quadrates ist jeweils die Summe der Flächeninhalte der beiden nachfolgenden Quadrate. Die Kantenlänge eines Quadrates steht zur Kantenlänge des übernächsten Quadrates im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Abb. 5: rot = gelb + blau

2.3 Durchgehende Linien

Als Skalierungsfaktor wählen wir die reelle Lösung der kubischen Gleichung x^3 + x – 1 = 0. Es ist x ≈ 0.6823278040. Wir erhalten die Figur der Abbildung 6. Die rechten Seiten der ersten beiden roten Quadrate liegen auf einer Geraden, ebenso die Oberkanten der ersten beiden gelben Quadrate. Wir können die Figur als geflochtenen Zopf interpretieren.

Abb. 6: Durchgehende Linien. Zopf

3 Würfel

Die Idee ist nun, die Quadrate als Bodenflächen von Würfeln zu sehen.

3.1 Beispiele

Mit dem Skalierungsfaktor 0.8 ergibt sich die Figur der Abbildung 7.

Abb. 7: Skalierungsfaktor 0.8

Der Skalierungsfaktor ½ ergibt die Figur der Abbildung 8.

Abb. 8: Skalierung ½

3.2 Goldener Schnitt

Der Skalierungsfaktor 1/Φ ≈ 0.618 ergibt die Figur der Abbildung 9. Die Grundfläche ist ein Goldenes Rechteck.

Abb. 9.1: Goldener Schnitt

Abb. 9.2: Goldener Schnitt

Nun nehmen wir die Quadratwurzel √(1/Φ) ≈ 0.786 als Skalierungsfaktor (Abb. 10). Die Oberfläche eines Würfels ist jeweils die Summe der Oberflächen der beiden folgenden Würfel. Die Kantenlängen der Würfel auf der Vorderseite (rot, blau, gelb, rot, ... ) stehen jeweils im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Abb. 10: √(1/Φ) ≈ 0.786

Schließlich nehmen wir die kubische Wurzel (1/Φ)^(1/3) ≈ 0.852 als Skalierungsfaktor (Abb. 11). Das Volumen eines Würfels ist jeweils die Summe der Volumina der beiden nachfolgenden Würfel. Die Kantenlängen aufeinanderfolgender Würfel gleicher Farbe stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Abb. 11: Kubische Wurzel

3.3 Durchgehende Seiten

Als Skalierungsfaktor wählen wir die reelle Lösung der kubischen Gleichung x^3 + x – 1 = 0. Es ist x ≈ 0.6823278040. Wir erhalten die Figur der Abbildung 12.

Abb. 12.1: Durchgehende Seiten

Abb.12.2: Durchgehende Seiten

Weblink

Hans Walser, Goldener Schnitt

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Goldener_Schnitt_19/Goldener_Schnitt_19.html