Hans Walser, [20090411a]

Fibonacci, Kreisfunktionen und hyperbolische Funktionen

Spezielle verallgemeinerte Fibonacci-Rekursionen fŸhren auf Kreis- und Hyberbelfunktionen.

1        Fibonacci und Kreisfunktionen

1.1      Einstiegsbeispiel

Wir untersuchen die Folge mit der Rekursion

und den Startwerten  und . Excel liefert fŸr die ersten 50 Folgenglieder:

n

a_n

n

a_n

n

a_n

0

1

17

0.633554136

34

-0.197218313

1

0.95

18

0.843463666

35

0.118759788

2

0.805

19

0.969026829

36

0.422861911

3

0.5795

20

0.997687309

37

0.684677842

4

0.29605

21

0.926579058

38

0.878025989

5

-0.017005

22

0.762812901

39

0.983571538

6

-0.3283595

23

0.522765455

40

0.990759932

7

-0.60687805

24

0.230441462

41

0.898872333

8

-0.824708795

25

-0.084926676

42

0.717097501

9

-0.960068661

26

-0.391802147

43

0.463612919

10

-0.999421660

27

-0.659497403

44

0.163767045

11

-0.938832493

28

-0.861242919

45

-0.152455534

12

-0.784360078

29

-0.976864143

46

-0.453432559

13

-0.551451654

30

-0.994798953

47

-0.709066328

14

-0.263398065

31

-0.913253867

48

-0.893793465

15

0.050995331

32

-0.740383395

49

-0.989141255

16

0.360289193

33

-0.493474583

50

-0.985574919

 


Das zugehšrige SŠulendiagramm lŠsst eine Kosinuskurve erkennen:

Diagramm. Kosinuskurve

1.2      Rekursion und Startwerte

Wir untersuchen Folgen mit der Rekursion:

Mit den Startwerten  und  ergibt sich eine Folge, deren Werte auf einer Kosinuskurve liegen. Mit derselben Rekursion, aber den Startwerten  und  ergibt sich eine Folge, deren Werte auf einer Sinuskurve liegen.

Beispiel: . Startwerte  und .

n

a_n

n

a_n

n

a_n

0

0

17

-0.773698363

34

-0.980359596

1

0.3122499

18

-0.537186229

35

-0.992923014

2

0.59327481

19

-0.246955472

36

-0.906194132

3

0.814972239

20

0.067970832

37

-0.728845836

4

0.955172444

21

0.376100052

38

-0.478612956

5

0.999855405

22

0.646619268

39

-0.180518781

6

0.944552825

23

0.852476557

40

0.135627272

7

0.794794963

24

0.973086190

41

0.438210598

8

0.565557604

25

0.996387204

42

0.696972864

9

0.279764485

26

0.920049497

43

0.886037844

10

-0.034005082

27

0.751706841

44

0.986499040

11

-0.344374141

28

0.508193501

45

0.988310331

12

-0.620305787

29

0.213860811

46

0.891290589

13

-0.834206853

30

-0.101857960

47

0.705141789

14

-0.964687234

31

-0.407390936

48

0.448478809

15

-0.998698892

32

-0.672184818

49

0.146967949

16

-0.932840660

33

-0.869760218

50

-0.169239706

 

Das zugehšrige SŠulendiagramm lŠsst eine Sinuskurve erkennen:

Diagramm. Sinuskurve

1.3      Beweis

Wir untersuchen den Fall  mit den Startwerten   und , und setzen . Wir haben also die Rekursion

 

und die Startwerte  sowie .

Dann gilt:

Beweis induktiv. Die Startwerte erfŸllen die Behauptung. Weiter ist:

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Im Fall  mit den Startwerten  und  setzen wir wieder . Wir haben also dieselbe Rekursion

 

und die Startwerte  sowie . Dann gilt:

Der Beweis lŠuft analog.

1.4      PeriodenlŠnge

FŸr die PeriodenlŠnge T der so generierten Kreisfunktionen gilt:

In  unserem Beispiel mit  erhalten wir:

Aus den Diagrammen lesen wir eine PeriodenlŠnge von etwa 20 ab.

1.5      Noch ein Beispiel

Wir verwenden einen negativen Wert fŸr p. Startwerte  und .

Beispiel:

n

a_n

n

a_n

n

a_n

0

1

17

0.741547963

34

0.099786763

1

-0.99

18

-0.828774555

35

-0.239152167

2

0.9602

19

0.899425656

36

0.373734526

3

-0.911196

20

-0.952088244

37

-0.500842196

4

0.84396808

21

0.985709066

38

0.617933021

5

-0.759860798

22

-0.999615708

39

-0.722665186

6

0.660556301

23

0.993530035

40

0.812944047

7

-0.548040677

24

-0.967573762

41

-0.886964027

8

0.424564240

25

0.922266013

42

0.943244727

9

-0.292596518

26

-0.858512944

43

-0.980660532

10

0.154776866

27

0.777589617

44

0.998463127

11

-0.013861676

28

-0.681114496

45

-0.996296459

12

-0.127330747

29

0.571017086

46

0.974203862

13

0.265976555

30

-0.449499335

47

-0.932627187

14

-0.399302832

31

0.318991596

48

0.872397969

15

0.524643053

32

-0.182104026

49

-0.794720792

16

-0.639490412

33

0.041574375

50

0.701149198

 


Das Diagramm sieht lustig aus:

Diagramm

Wir haben einen Flipflop-Effekt. Es ist aber immer noch . — Und nicht, wie der Schreiber dieses zuerst vermutete, .

Die PeriodenlŠnge ist viel kŸrzer, als man denkt:

Wie ist das zu verstehen?


1.6      Andere Startwerte

Beispiel: , Startwerte  und .  Wir erhalten das Diagramm:

Diagramm

Wir haben eine Linearkombination einer Kosinusfunktion und einer Sinusfunktion.


2        p > 1

Bis jetzt war , und das war ja auch gut so, weil wir in unseren †berlegungen mit  gearbeitet haben, was fŸr  nicht ginge. Allerdings kšnnen wir gleichwohl mit der Rekursion  und den Startwerten  und  arbeiten.

2.1      Beispiel

Im Beispiel  erhalten wir

n

a_n

n

a_n

n

a_n

0

1

6

1.381452339

12

2.816821131

1

1.01

7

1.530392924

13

3.218329769

2

1.0402

8

1.709941367

14

3.684205002

3

1.091204

9

1.923688637

15

4.223764334

4

1.16403208

10

2.175909680

16

4.847798954

5

1.260140802

11

2.471648916

 

 

mit dem Diagramm:

Diagramm

Das schmeckt sehr nach hyperbolischem Kosinus.

TatsŠchlich gilt: mit  wird .

Und mit den Startwerten   und  ergibt sich . Die Beweise laufen analog zu denen der Kreisfunktionen, wobei der Leser / die Leserin gut tut, vor dem Beweis die einschlŠgigen Formeln fŸr die hyperbolischen Funktionen nachzusehen. — Wir haben damit ohne WŸrgen und Murksen einen Link von den Kreisfunktionen zu den hyperbolischen Funktionen gefunden.

2.2      p <  –1

Im Beispiel  erhalten wir

n

a_n

n

a_n

n

a_n

0

1

6

1.381452339

12

2.816821131

1

-1.01

7

-1.530392924

13

-3.218329769

2

1.0402

8

1.709941367

14

3.684205002

3

-1.091204

9

-1.923688637

15

-4.223764334

4

1.16403208

10

2.175909680

16

4.847798954

5

-1.260140802

11

-2.471648916

 

 

mit dem Diagramm:

Diagramm

Hier kommt man wohl nicht darum herum, die Formel  zu akzeptieren.


3        Hintergrund

3.1      Die Formel von Binet

Eine Folge mit der Rekursion  und den Startwerten  und  kann explizit dargestellt werden mit:

Dabei ist:

Beweis induktiv mit einiger Rechnung.

In unserem Fall ist , also:

Weiter haben wir

und:

3.2      Spezielle Startwerte

Mit den speziellen Startwerten  und  erhalten wir:

Eingesetzt in die explizite Formel von Binet liefert:

Das erinnert an die Definitionen von cos und cosh.

Wir machen nun eine Fallunterscheidung bezŸglich p.

3.2.1     |p| < 1

In diesem Fall ist:

Es ist also:

Die explizite Formel von Binet wird zu:

3.2.2     p > 1

Hier ist:

Weiter ist:

Die explizite Formel von Binet wird zu: