Hans Walser, [20150825]

Fibonacci-Dreieck

1     Worum geht es

Es wird ein Zahlendreieck hergeleitet, das viele Beziehungen zur Fibonacci-Folge hat.

2     Funktionenfolge

Mit  bezeichnen wir den Goldenen Schnitt (Walser 2013):

 

                                                                                                           (1)

 

Nun definieren wir eine Funktionenfolge:

 

                                                                                   (2)

 

 

Erste Beispiele:

 

                                                 (3)

 

 

 

 

Im Folgenden die Beispiele fźr n = 0 ... 8.

 

                  (4)

 

 

 

 

 

 

 

Die Koeffizientenmatrix ist eine Dreiecksmatrix (Tab. 1).

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

–1

 

 

 

 

 

 

 

1

–1

–1

 

 

 

 

 

 

1

–2

–2

1

 

 

 

 

 

1

–3

–6

3

1

 

 

 

 

1

–5

–15

15

5

–1

 

 

 

1

–8

–40

60

40

–8

–1

 

 

1

–13

–104

260

260

–104

–13

1

 

1

–21

–273

1092

1820

–1092

–273

21

1

                                                                      

Tab. 1: Dreiecksmatrix

 

Es handelt sich dabei um das Fibonacci-Dreieck (Signed Fibonomial triangle, oeis.org/A055870).

In der zweiten Spalte erkennen wir (bis auf Vorzeichen) die Fibonacci-Zahlen.

In der dritten Spalte haben wir (bis auf Vorzeichen) die FlŠcheninhalte der Fibonacci-Rechtecke gemŠ§ Abbildung 1.

 

Abb. 1: Fibonacci-Rechtecke

 

Die Zeilen geben im Prinzip die Rekursionskoeffizienten fźr die Potenzen der Fibonacci-Zahlen. So ist zum Beispiel:

 

                                                                       (5)

 

 

 

Die Abbildung 2 zeigt das Fibonacci-Dreieck in einer nostalgischen Anordnung.

 

           

Abb. 2: Fibonacci-Dreieck

 

Das Dreieck ist bis auf Vorzeichen axialsymmetrisch.

3     Funktionsgrafen

Die Abbildung 3 zeigt die Funktionsgrafen und die Nullstellen fźr .

 

Abb. 3: Funktionsgrafen

 

4     Berechnung der Elemente

Die Elemente  des Fibonacci-Dreiecks kšnnen wie folgt berechnet werden ( bezeichnet die Fibonacci-Zahlen):

 

                                                                                               (6)

 

 

 

Websites

Signed Fibonomial triangle: oeis.org/A055870

Triangle of Fibonomial coefficients: oeis.org/A010048

 

Literatur

Walser, H. (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing źber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.