Hans Walser, [20100514a]
Fibonacci trifft Pythagoras
Anregung: I. Y.
Mit den Fibonacci-Zahlen werden pythagoreische Dreiecke konstruiert, die im Limes zu den Fibonacci-Zahlen zurŸckfŸhren. Als Nebenresultat ergibt sich eine Folge von Konstruktionen fŸr den goldenen Schnitt.
Erinnerung: Mit erhalten wir durch
ein ganzzahliges Zahlentripel, welches der Bedingung genŸgt. Damit kšnnen wir auch ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen SeitenlŠngen konstruieren.
Wir verwenden nun fŸr u und v die Fibonacci-Zahlen der folgenden Tabelle. Diese haben die Startwerte und die Rekursion . In der Tabelle sind auf Vorrat auch noch die Lucas-Zahlen aufgelistet, welche sich von den Fibonacci-Zahlen nur durch andere Startwerte unterscheiden. Die Rekursion ist dieselbe.
In der folgenden Tabelle sind fŸr u und v die Fibonacci-Zahlen mit einem Versatz von 1 verwendet worden, das hei§t es ist und . Die u sind gegenŸber den v um eine Stelle versetzt.
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1 |
2 |
1 |
3 |
4 |
5 |
0.750000 |
1.250000 |
2 |
3 |
2 |
5 |
12 |
13 |
0.416667 |
1.083333 |
3 |
5 |
3 |
16 |
30 |
34 |
0.533333 |
1.133333 |
4 |
8 |
5 |
39 |
80 |
89 |
0.487500 |
1.112500 |
5 |
13 |
8 |
105 |
208 |
233 |
0.504808 |
1.120192 |
6 |
21 |
13 |
272 |
546 |
610 |
0.498168 |
1.117216 |
7 |
34 |
21 |
715 |
1428 |
1597 |
0.500700 |
1.118347 |
8 |
55 |
34 |
1869 |
3740 |
4181 |
0.499733 |
1.117914 |
9 |
89 |
55 |
4896 |
9790 |
10946 |
0.500102 |
1.118080 |
10 |
144 |
89 |
12815 |
25632 |
28657 |
0.499961 |
1.118017 |
11 |
233 |
144 |
33553 |
67104 |
75025 |
0.500015 |
1.118041 |
12 |
377 |
233 |
87840 |
175682 |
196418 |
0.499994 |
1.118031 |
13 |
610 |
377 |
229971 |
459940 |
514229 |
0.500002 |
1.118035 |
14 |
987 |
610 |
602069 |
1204140 |
1346269 |
0.499999 |
1.118034 |
15 |
1597 |
987 |
1576240 |
3152478 |
3524578 |
0.500000 |
1.118034 |
Wir vermuten auf Grund dieser Tabelle:
FŸr nehmen die pythagoreischen Dreiecke das SeitenverhŠltnis
an. Das ist das klassische rechtwinklige Dreieck, das sehr vielen Konstruktionen des goldenen Schnittes zugrunde liegt.
Nun ist und . Die u sind gegenŸber den v um zwei Stellen versetzt, die v bleiben unverŠndert.
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1 |
3 |
1 |
8 |
6 |
10 |
1.333333 |
1.666667 |
2 |
5 |
2 |
21 |
20 |
29 |
1.050000 |
1.450000 |
3 |
8 |
3 |
55 |
48 |
73 |
1.145833 |
1.520833 |
4 |
13 |
5 |
144 |
130 |
194 |
1.107692 |
1.492308 |
5 |
21 |
8 |
377 |
336 |
505 |
1.122024 |
1.502976 |
6 |
34 |
13 |
987 |
884 |
1325 |
1.116516 |
1.498869 |
7 |
55 |
21 |
2584 |
2310 |
3466 |
1.118615 |
1.500433 |
8 |
89 |
34 |
6765 |
6052 |
9077 |
1.117812 |
1.499835 |
9 |
144 |
55 |
17711 |
15840 |
23761 |
1.118119 |
1.500063 |
10 |
233 |
89 |
46368 |
41474 |
62210 |
1.118002 |
1.499976 |
Wir vermuten auf Grund dieser Tabelle:
FŸr nehmen die pythagoreischen Dreiecke das SeitenverhŠltnis
an.
Noch das Beispiel mit Versatz 5, also .
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1 |
13 |
1 |
168 |
26 |
170 |
6.461538 |
6.538462 |
2 |
21 |
2 |
437 |
84 |
445 |
5.202381 |
5.297619 |
3 |
34 |
3 |
1147 |
204 |
1165 |
5.622549 |
5.710784 |
4 |
55 |
5 |
3000 |
550 |
3050 |
5.454545 |
5.545455 |
5 |
89 |
8 |
7857 |
1424 |
7985 |
5.517556 |
5.607444 |
6 |
144 |
13 |
20567 |
3744 |
20905 |
5.493323 |
5.583600 |
7 |
233 |
21 |
53848 |
9786 |
54730 |
5.502555 |
5.592683 |
8 |
377 |
34 |
140973 |
25636 |
143285 |
5.499025 |
5.589210 |
9 |
610 |
55 |
369075 |
67100 |
375125 |
5.500373 |
5.590537 |
10 |
987 |
89 |
966248 |
175686 |
982090 |
5.499858 |
5.590030 |
Wir vermuten:
FŸr nehmen die pythagoreischen Dreiecke das SeitenverhŠltnis
an. Ob sich auch mit diesem Dreieck der goldene Schnitt konstruieren lŠsst, Ÿberlassen wir den TŸftlern.
Ein Feldversuch mit verschiedenen Versatzzahlen m lŠsst mit der Normierung folgende SeitenverhŠltnisse fŸr die jeweiligen Grenzdreiecke vermuten:
Wir erkennen bei den a und c im Wechsel die Lucas-Zahlen und die Fibonacci-Zahlen. Wir vermuten somit:
m ungerade:
m gerade:
FŸr den goldenen Schnitt verwenden wir die Schreibweisen:
Es ist .
Ferner verwenden wir die Formeln von Binet:
Wegen ist ; wir kšnnen bei Grenzwertprozessen den weglassen.
Schlie§lich die Formel von Catalan:
Mit und lŠsst sich diese Formel von Catalan in folgender Form schreiben:
Wir zeigen zunŠchst:
FŸr ungerades m erhalten wir unter Verwendung von :
FŸr gerades m verlŠuft die Rechnung analog.
Zu zeigen ist:
m ungerade:
m gerade:
Wegen der oben bewiesenen Pythagoras-Beziehung haben wir in jedem der beiden FŠlle nur einen der beiden Grenzwerte nachzuweisen.
ZunŠchst sei wiederum m ungerade. Die Formel von Catalan lautet in diesem Fall:
Aufgrund der Formeln fŸr die Konstruktion der pythagoreischen Dreiecke erhalten wir damit:
Weiter ist:
Damit erhalten wir:
Damit ist der Fall fŸr ungerades m vollstŠndig bewiesen.
FŸr gerades m lŠuft der Beweis analog, es wird bewiesen.
Aufgrund der Tabelle
ergibt sich eine Folge von Konstruktionen des goldenen Schnittes im Quadratraster, allerdings mit einer Fallunterscheidung bezŸglich der ParitŠt von m.
In beiden FŠllen beginnen wir mit einem Rechteck im Karoraster, das Einheiten lang und 2 Einheiten hoch ist.
FŸr ungerades m arbeiten wir dann gemŠ§ Figur (Figur exakt fŸr ). Am oberen Rand wird durch Dritteln die Fiboancci-Zahl sichtbar gemacht. Am unteren Rand tragen wir von rechts her den Abstand ein. Dann schlagen wir einen Bogen um die Ecke rechts oben gemŠ§ Figur und erhalten auf dem oberen Rand einen Teilpunkt, welcher das aus den ersten beiden Fibonacci-Strecken gebildete Intervall im VerhŠltnis des goldenen Schnittes teilt. Der Kreisbogen verlŠuft von unten nach oben.
m ungerade
Die blaue und die rote Strecke sind dann im VerhŠltnis des goldenen Schnittes.
FŸr gerades m sieht das so aus (Figur exakt fŸr ). Nun werden die drei Fibonacci-Strecken am unteren Rand eingezeichnet und am oberen Rand von rechts her abgetragen. Der Kreisbogen hat immer noch die Ecke rechts oben als Zentrum, verlŠuft nun aber von oben nach unten.
m gerade
Nun explizite Beispiele.
Es ist .
m = 1
Es ist .
m = 2
Es ist .
m = 3
Es ist .
m = 4
Es ist .
m = 5