Hans Walser, [20100509a]
Fermat mit negativen Exponenten
Anregung: T. G., B.
Vgl. [Morgan 2010]
Gesucht sind Lšsungen der Gleichung:
a) Fźr gibt es keine Lšsung (FermatŐs Last Theorem, Beweis durch Wiles 1995)
b) Fźr gibt es die pythagoreischen Zahlentripel. Einfachstes Beispiel ist .
c) Fźr ist der Fall trivial. Einfachstes Beispiel ist .
d) Fźr gibt es wegen keine Lšsung.
e) Fźr zwei Beispiele:
f) Fźr zwei Beispiele:
g) Niemand ist eingeladen, fźr Beispiele zu suchen.
Aus einer Lšsung mit dem Exponenten z lŠsst sich eine Lšsung mit dem Exponenten konstruieren:
Falls , so erhalten wir durch die Zuordnung
eine ganzzahlige Lšsung der Gleichung .
Beweis: Zu zeigen ist: 1) Es ist eine Lšsung. 2) Sie ist ganzzahlig.
Ad 1), Lšsung:
Wir verwenden die Bezeichnung . Damit erhalten wir:
Ad 2), Ganzzahligkeit:
Wir verwenden die Primfaktorzerlegungen:
Damit ist:
Die Exponenten in der Primfaktorzerlegung kšnnen wir anders schreiben. Es ist nŠmlich:
Somit ist:
Weiter ist zum Beispiel:
Wegen ist ganzzahlig. Analog fźr und .
Bemerkung: Auf Grund dieser Umrechungsformeln ist aus FermatŐs Last Theorem klar, dass es fźr keine Lšsung geben kann.
Die Zuordnung ist involutorisch:
ZunŠchst berechnen wir
und dazu:
Analog:
Daraus ergibt sich:
also:
Wieder kšnnen wir die Exponenten umformen. Es ist:
Somit ist:
Wir verwenden nun die Schreibweise:
Damit wird zum Beispiel:
Fźr die Exponenten gilt:
Somit ist und analog und . Damit ist die Involutionseigenschaft bewiesen.
a) Aus erhalten wir , also .
b) Aus erhalten wir , also .
a) Aus erhalten wir , also .
b) Aus erhalten wir , also . Umgekehrt ist , wir kommen also wieder zurźck.
c) Aus erhalten wir , also .
Aus erhalten wir , also:
Wir wenden nun diesen Sachverhalt iterativ an:
Fźr die Nenner haben wir die Folge:
Es gilt die Rekursion:
Der Computer liefert:
d[1] = 2
d[2] = 3
d[3] = 7
d[4] = 43
d[5] = 1807
d[6] = 3263443
d[7] = 10650056950807
d[8] = 113423713055421844361000443
d[9] = 12864938683278671740537145998360961546653259485195807
Die Nenner sind nicht alles Primzahlen. Die erste Nichtprimzahl ist:
Wir rechnen die pythagoreischen Zahlentripel um. Dabei lassen wir auch nichtprimitive Zahlentripel zu. Wir verwenden die źbliche Parametrisierung mit und:
u |
v |
a |
b |
c |
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
4 |
5 |
1 |
20 |
15 |
12 |
3 |
1 |
8 |
6 |
10 |
2 |
30 |
40 |
24 |
3 |
2 |
5 |
12 |
13 |
1 |
156 |
65 |
60 |
4 |
1 |
15 |
8 |
17 |
1 |
136 |
255 |
120 |
4 |
2 |
12 |
16 |
20 |
4 |
80 |
60 |
48 |
4 |
3 |
7 |
24 |
25 |
1 |
600 |
175 |
168 |
5 |
1 |
24 |
10 |
26 |
2 |
130 |
312 |
120 |
5 |
2 |
21 |
20 |
29 |
1 |
580 |
609 |
420 |
5 |
3 |
16 |
30 |
34 |
2 |
510 |
272 |
240 |
5 |
4 |
9 |
40 |
41 |
1 |
1640 |
369 |
360 |
6 |
1 |
35 |
12 |
37 |
1 |
444 |
1295 |
420 |
6 |
2 |
32 |
24 |
40 |
8 |
120 |
160 |
96 |
6 |
3 |
27 |
36 |
45 |
9 |
180 |
135 |
108 |
6 |
4 |
20 |
48 |
52 |
4 |
624 |
260 |
240 |
6 |
5 |
11 |
60 |
61 |
1 |
3660 |
671 |
660 |
7 |
1 |
48 |
14 |
50 |
2 |
350 |
1200 |
336 |
7 |
2 |
45 |
28 |
53 |
1 |
1484 |
2385 |
1260 |
7 |
3 |
40 |
42 |
58 |
2 |
1218 |
1160 |
840 |
7 |
4 |
33 |
56 |
65 |
1 |
3640 |
2145 |
1848 |
7 |
5 |
24 |
70 |
74 |
2 |
2590 |
888 |
840 |
7 |
6 |
13 |
84 |
85 |
1 |
7140 |
1105 |
1092 |
8 |
1 |
63 |
16 |
65 |
1 |
1040 |
4095 |
1008 |
8 |
2 |
60 |
32 |
68 |
4 |
544 |
1020 |
480 |
8 |
3 |
55 |
48 |
73 |
1 |
3504 |
4015 |
2640 |
8 |
4 |
48 |
64 |
80 |
16 |
320 |
240 |
192 |
8 |
5 |
39 |
80 |
89 |
1 |
7120 |
3471 |
3120 |
8 |
6 |
28 |
96 |
100 |
4 |
2400 |
700 |
672 |
8 |
7 |
15 |
112 |
113 |
1 |
12656 |
1695 |
1680 |
9 |
1 |
80 |
18 |
82 |
2 |
738 |
3280 |
720 |
9 |
2 |
77 |
36 |
85 |
1 |
3060 |
6545 |
2772 |
9 |
3 |
72 |
54 |
90 |
18 |
270 |
360 |
216 |
9 |
4 |
65 |
72 |
97 |
1 |
6984 |
6305 |
4680 |
9 |
5 |
56 |
90 |
106 |
2 |
4770 |
2968 |
2520 |
9 |
6 |
45 |
108 |
117 |
9 |
1404 |
585 |
540 |
9 |
7 |
32 |
126 |
130 |
2 |
8190 |
2080 |
2016 |
9 |
8 |
17 |
144 |
145 |
1 |
20880 |
2465 |
2448 |
10 |
1 |
99 |
20 |
101 |
1 |
2020 |
9999 |
1980 |
10 |
2 |
96 |
40 |
104 |
8 |
520 |
1248 |
480 |
10 |
3 |
91 |
60 |
109 |
1 |
6540 |
9919 |
5460 |
10 |
4 |
84 |
80 |
116 |
4 |
2320 |
2436 |
1680 |
10 |
5 |
75 |
100 |
125 |
25 |
500 |
375 |
300 |
10 |
6 |
64 |
120 |
136 |
8 |
2040 |
1088 |
960 |
10 |
7 |
51 |
140 |
149 |
1 |
20860 |
7599 |
7140 |
10 |
8 |
36 |
160 |
164 |
4 |
6560 |
1476 |
1440 |
10 |
9 |
19 |
180 |
181 |
1 |
32580 |
3439 |
3420 |
Im Dreieck mit haben wir die Hšhen:
Wenn wir mit dem LŠngenfaktor 5 vergrš§ern, erhalten wir:
Die transformierten Tripel geben die HšhenverhŠltnisse wieder.
Literatur
[Morgan 2010] Morgan,
Frank: FermatŐs Last Theorem for Fractional and Irrational Exponents. The College Mathematics Journal, Vol.
41, No. 3, May 2010, p. 182-185.