Hans Walser, [20130122]

Exponentialfunktion und Potenzfunktion

Anregung: Ch. W., B.

1     Worum es geht

Dieser Abschnitt enthŐlt nur didaktische Vorbemerkungen, kann also čbersprungen werden.

Im konventionellen Unterricht wird die Potenzfunktion vor der Exponentialfunktion behandelt. Man kann sich čberlegen, was es bringt, die Reihenfolge zu vertauschen. Schliežlich ist ja die Exponentialfunktion neben der linearen Funktion die wohl wichtigste Funktion čberhaupt.

In der Didaktik ist es čblich, dass einer, der etwas Neues einfčhren mÜchte, zuerst mal das Bisherige schlecht macht, auf dass sein Leuchtturm umso heller in der Finsternis leuchte. Machen wir also die Potenzfunktion schlecht:

Das Ableiten ist eine mčhsame Geschichte. Bei der Quadratfunktion geht es noch, die Ableitung der kubischen Funktion wird als Hausaufgabe gegeben und fčr die Potenzfunktionen ahnt man, dass es vermÜge der binomischen Formel wohl auch so geht. Und dann schiebt der Lehrer noch die gebrochenen und die irrationalen Exponenten nach und hofft, dass die Schčler das schlucken. Gewissenhaft Lehrer leiten wenigsten die Ableitung der Quadratwurzelfunktion mit einigem Aufwand neu her.

Beim Integrieren wiederholt sich das ganze Theater in grčn. Zudem hat man den hŐsslichen Sonderfall der umgekehrten ProportionalitŐt, der nicht ins Schema passt wegen der verbotenen Division durch Null und wunderbarer- aber unerklŐrlicherweise zum natčrlich Logarithmus fčhrt. Dieser ist aber fčr die Schčler zu diesem Zeitpunkt alles andere als natčrlich.

Ganz schlimm wird es, wenn man sich im Unterricht auf die Potenzfunktionen beschrŐnkt. Das fčhrt dann zum falschen Bild, dass Mathematik etwa darin besteht, den Wendepunkt einer kubischen Parabel zu bestimmen.

2     Die Exponentialfunktion

2.1    Die Exponentialfunktion als solche

Die Exponentialfunktion ist die LÜsung der Differentialgleichung  mit der Bedingung .

Die Abbildung 1 zeigt das Richtungsfeld , die Anfangsbedingung als Punkt und die LÜsungskurve.

Abb. 1: Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion wird mit  oder konventionell mit  geschrieben, die zugehÜrige Umkehrfunktion mit .

2.2    Eine parametrisierte Kurve

Welche Kurve ergibt sich durch die Parameterdarstellung

 

 

Natčrlich erwarten wir so etwas wie die Exponentialkurve. Der Plot belehrt uns besser (Abb. 2).

Abb. 2: Was fčr eine Kurve ist das?

Das sieht doch eher aus wie die rechte HŐlfte der Standardparabel. Und in der Tat:

 

 

Da wir nur die rechte HŐlfte haben, ergibt sich erst noch der Vorteil der Umkehrbarkeit.

Analog fčhrt die Parameterdarstellung

 

 

zur Kurve . Fčr natčrliche Zahlen s haben wir somit die Potenzfunktionen im Kasten, fčr negative s die gebrochenen Funktionen, insbesondere die indirekte ProportionalitŐt, fčr gebrochene s die Wurzelfunktionen und fčr reelle s Funktionen, deren Name ich nicht weiž.

Dieses ganze Theater macht natčrlich nur Sinn, wenn man es brauchen kann. Çsthetik ist in unserer nčtzlichkeitsorientierten Kultur kein Kriterium. Also:

2.3    Ableitung

Zur Kurve

 

 

berechnen wir nun mal den Tangentialvektor. Dies ist besonders einfach, weil wir die Ableitung der Exponentialfunktion von der Definition her kennen. Es ist:

 

 

Der Tangentialvektor hat die Steigung:

 

 

Wegen  erhalten wir:

 

 

Somit ist . Das geht so fčr sŐmtliche s.

2.4    Integration

Wir wollen das bestimmte Integral gemŐž Abbildung 3 bestimmen.

Abb. 3: Integral

Die Kurve ist durch

 

 

gegeben ist. Wir haben also die Kurve  und das bestimmte Integral

 

 

zu berechnen. Dazu arbeiten wir mit der Substitution . Damit ist  und weiter:

 

 

 

Wir sehen, dass die Funktion  die Stammfunktion  hat. Der Fall  muss auch hier separat behandelt werden, geht aber sehr einfach:

 

 

Somit hat die Funktion  den natčrlichen Logarithmus als Stammfunktion.

 

3     Zusammenfassung

Bei Kenntnis der Exponentialfunktion lassen sich Ableitung und Integration der Potenz- und Wurzelfunktionen sehr einfach herleiten.