Hans Walser, [20171015]

Eulersche Polyederformel

1     Worum geht es?

Die Eulersche Polyederformel wird in der Schule meist durch AbzŠhlen der Ecken, Kanten und FlŠchen bearbeitet.

Es wird fŸr einigerma§en regelmŠ§ige Polyeder eine alternative Berechnungsart vorgestellt, welche sich auch auf ebene und hyperbolische ãPolyederÒ Ÿbertragen lŠsst.

Vorgehen exemplarisch.

2     Beispiele mit Polyedern

2.1    WŸrfel

Abb. 1: WŸrfel

2.1.1   Globales Vorgehen

Der WŸrfel hat e = 8 Ecken, k = 12 Kanten und f = 6 FlŠchen. Daraus ergibt sich:

 

                                                                                           (1)

 

 

Wir kšnnen alternativ vorgehen wie folgt.

2.1.2   Lokales Vorgehen

Von jeder WŸrfelecke gehen drei Kanten aus. Da jede Kante zwei WŸrfelecken verbindet, erhalten wir fŸr die Anzahl k der Kanten:

 

                                                                                                                           (2)

 

 

Weiter kommen an jeder WŸrfelecke drei QuadratflŠchen zusammen. Da jede QuadratflŠche mit vier Ecken inzidiert, erhalten wir fŸr die Anzahl f der FlŠchen:

 

                                                                                                                           (3)

 

 

Somit ist:

 

                                               (4)

 

 

Wegen e = 8 folgt (1). Wir mŸssen nur einmal global zŠhlen.

2.1.3   Winkeldefizit

An jeder Ecke kommen drei rechte Winkel von den QuadratflŠchen zusammen. Das macht zusammen 270¡. Es fehlen 90¡ bis zum vollen Winkel von 360¡. Auf e = 8 Ecken fehlen also insgesamt 8 × 90¡ = 720¡. Das ist das globale Winkeldefizit nach Descartes. Damit wird:

 

                                                                                                                    (5)

 

 

Die Herleitung Ÿber das Winkeldefizit ist ebenfalls lokal. Wir brauchen nur noch die Eckenzahl zu kennen.

2.2    Kuboktaeder

Abb. 2: Kuboktaeder

2.2.1   Globale ZŠhlweise

Das Kuboktaeder hat e = 12 Ecken, k = 24 Kanten und f = 14 FlŠchen. Somit ist:

 

                                                                                       (6)

 

 

2.2.2   Lokale ZŠhlweise

Von jeder Ecke gehen vier Kanten aus. Somit ist:

 

                                                                                                                   (7)

 

 

An jeder Ecke kommen zwei Quadrate und zwei Dreiecke an. Daher ist:

 

                                                

 

 

Daher erhalten wir:

 

                                                                                      (8)

 

 

Wegen e = 12 folgt .

2.2.3   Winkeldefizit

An jeder Ecke haben wir zwei 60¡-Winkel und zwei 90¡-Winkel, zusammen also 300¡. Das Winkeldefizit ist 60¡. Wegen e = 12 ist das globlae Winkeldefizit 720¡ und damit .

2.3    Rhombitruncated Icosidodcahedron

Abb. 3: Rhombitruncated Icosidodecahedron

2.3.1   Globale ZŠhlweise

Es ist e = 120, k = 180 und f = 12 + 20 + 30 = 62. Wer zŠhlt nach? Es ist .

2.3.2   Lokale ZŠhlweise

Von jeder Ecke gehen drei Kanten aus. Daher ist:

 

                                                                                                                   (9)

 

 

Jede Ecke inzidiert mit einem Zehneck, einem Sechseck und einem Quadrat. Daher ist:

 

                                                                               (10)

 

 

Somit:

 

                                                                             (11)

 

 

Wegen e = 120 ist .

2.3.3   Winkeldefizit

An jeder Ecke haben wir einen Winkel von 144¡ (Zehneck), einen Winkel von 120¡ (Sechseck) und einen Winkel von 90¡ (Quadrat), zusammen also 354¡ und ein Winkeldefizit von 6¡. Wegen e = 120 ist das globale Winkeldefizit 720¡ und damit .

3     Ebene Raster

In ebenen Rastern ist das Winkeldefizit trivialerweise null.

ZunŠchst die drei klassischen Raster: Karoraster, Hexagonalraster und Dreiecksraster.

3.1    Karoraster

Abb. 4: Karoraster

Im Karoraster haben wir unendlich viele Ecken, Kanten und FlŠchen. Wir kšnnen nicht global rechnen.

3.1.1   Lokale †berlegung

Wir haben e Ecken.

Von jeder Ecke gehen vier Kanten aus. Daher ist:

 

                                                                                                                 (12)

 

 

In jeder Ecke inzidieren vier Quadrate. Daher ist:

 

                                                                                                                   (13)

 

 

Wir erhalten:

 

                                                                   (14)

 

 

Die Eckenzahl spielt in der †berlegung keine Rolle.

3.1.2   Winkeldefizit

An jeder Ecke haben wir vier rechte Winkel, zusammen also 360¡. Das lokale Winkeldefizit ist null. Daher ist auch das globale Winkeldefizit null, und wir haben:

 

                                                            

 

3.2    Hexagonalraster

Abb. 5: Hexagonalraster

Es ist  und . Daher ist:

 

                                                                                                       (15)

 

 

3.3    Dreiecksraster

Abb. 6: Dreiecksraster

Es ist  und . Daher ist:

 

                                                                                                       (16)

 

 

3.4    Sechsecke und Dreiecke

Abb. 7: Sechsecke und Dreiecke

Es ist  und , und daher .

3.5    Zwšlfecke, Sechsecke und Quadrate

Abb. 8: Zwšlfecke, Sechsecke und Quadrate

Es ist  und , und daher .

4     Hyperbolische Raster

Bei hyperbolischen Rastern wird .

Das Winkeldefizit an einer Ecke wird negativ (die Winkelsumme ist grš§er als 360¡).

4.1    Siebenecke

Abb. 9: Siebenecke

Es ist  und . Daher ist:

 

                                                                             (17)

 

 

Die Winkelsumme an einer Ecke ist:

 

                                                                                (18)

 

 

Das Winkeldefizit an einer Ecke ist somit .

4.2    Allgemein

Wir arbeiten mit n-Ecken mit n ³ 7. Es ist  und . Daher ist:

 

                                                                                              (19)

 

 

4.3    Siebenecke und Dreiecke

Abb. 10: Siebenecke und Dreiecke

Es ist  und . Daher ist:

 

                                                                                               (20)

 

 

An einer Ecke haben wir die Winkelsumme:

 

                                                     (21)

 

 

Das Winkeldefizit an einer Ecke ist .

4.4    Allgemein

Wir arbeiten mit n-Ecken (n ³ 7) und Dreiecken.

Es ist  und . Daher ist:

 

                                                                                         (22)