Hans Walser, [20050406a], [20131230b]

Esau und Jakob

1        EinfŸhrung

Diese Studie ist entstanden aus meiner eigenen Schwierigkeit, mir bei zwei gleichzeitigen Bewegungen den Weg des einen Punktes aus Sicht des anderen Punktes vorzustellen. Dies wird vor allem dann schwierig, wenn OrientierungsŠnderungen, etwa durch Kreisbewegungen, mit im Spiel sind. 

Ein klassisches Beispiel sind die Relativbewegungen von Erde und Sonne. Wie oft dreht sich die Erde im Laufe eines Jahres? Aus der Sicht der Fixsterne haben wir eine Drehung mehr als aus der Sicht der Sonne. Dies, weil sich die Erde aus Sicht etwa des Polarsternes im gleichen Drehsinn (es ist der positive Drehsinn) um die eigene Achse dreht wie der Drehsinn ihrer Umlaufsbewegung um die Sonne.

Wie ist das bei einer Tanzkapelle in der Mitte des Tanzsaales, wenn ein tanzendes Paar sich sowohl um die eigene Achse dreht wie auch um die Tanzkapelle kurvt. Wie oft sieht das Paar den Kapellmeister, wie of sieht es die Tante Frieda, die am Rand des Tanzsaales sitzt?

2        Situation

2.1      Geschichte

Esau und Jakob sind ZwillingsbrŸder, der erstgeborene ist Esau (1. Mose 25, 25). Dieser verkauft jedoch sein Erstgeburtsrecht an Jakob um ein Linsengericht. SpŠter betrog ihn Jakob auch mit einer List um den Segen Isaaks, des Vaters. Daher war Esau dem Jakob gram. Jakob fand es geraten, zu verschwinden. Er zog nach Mesopotamien.

Thomas Mann hat diese Geschichte literarisch umgesetzt [Mann 1933]. 

2.2      Geometrische Situation

Esau und Jakob trennen sich im Koordinatenursprung; jeder der beiden geht seinen eigenen Weg.

Der Weg von Esau wird beschrieben durch , der Weg von Jakob durch . Jeder der beiden BrŸder fŸhrt ein RadargerŠt mit, in welchem er den Weg des anderen verfolgen kann. Die Radarschirme sind in Bewegungsrichtung des jeweiligen GerŠteinhabers orientiert, die -Achse des Radarsschirmes schaut in Bewegungsrichtung.

Wie wird die Bewegung des Zwillingsbruders auf dem Radarschirm dargestellt?

Es geht also um Relativbewegungen. Wir mŸssen uns gedanklich in die Lage eines der beiden BrŸder versetzen und von da aus die Bewegung des anderen Bruders sehen.

Oft ist es hilfreich, sich zunŠchst die Bewegung des Koordinatensystems vorzustellen. Dieses ist ja aus der Sicht des bewegten Beobachters nicht mehr fest, sondern gleitet sozusagen unter ihm weg. Wenn wir uns zum Baispiel vom Koordinatenursprung ausgehend auf einem Kreis vorwŠrts bewegen,  hei§t das aus unserer Sicht, dass der Koordinatenursprung sich auf einem Kreis von uns entfernt.

2.3      Der Radar

2.3.1    Konfiguration der Radarschirme

Der Weg des einen der beiden BrŸder sei durch  beschrieben. Der Tangentialeinheitsvektor ist dann der Einheitsvektor  fŸr die -Achse seines Radarschirmes. Also ist:

 

 

Daraus ergibt sich fŸr den Einheitsvektor  der -Achse des Radarschirmes:

 

 

Der Vektor  ist der um  gedrehte Vektor .

2.3.2    Was sehen wir auf dem Radarschirm

Die beiden Wege

Das RadargerŠt bewegt sich mit . Wir verfolgen den Weg  des anderen Bruders auf dem Radarschirm.

FŸr die Rechnung werden folgende Bezeichnung verwendet:

Auf dem  sei  die Koordinate der beobachteten Bewegung von  in der  und entsprechend  die Koordinate der beobachteten Bewegung von  in der .

Es ist dann:

 

 

FŸr die praktische Anwendung mŸssen die beiden Koordinaten  und  noch geeignet skaliert werden. Das versteht sich aber von selbst und Šndert nichts an der Form der beobachteten Bewegungskurve.

Mit diesen Formeln kann nun jedes Beispiel analysiert und geplottet werden. Es ist aber lehrreich und dient dem dynamischen Vorstellungsvermšgen, sich die Relativbewegungen aus der Sicht jedes der beiden BrŸder vorzustellen.

3        Beispiele

In den folgenden Beispielen ist jeweils der Weg von Esau rot, der Weg von Jakob blau eingezeichnet. Zuerst werden beide Wege im gemeinsamen Koordinatensystem vorgestellt, dann der Weg von Esau auf dem Radarschirm von Jakob und schlie§lich der Weg von Jakob auf dem Radarschirm von Esau.

3.1      Geradlinige Wege in entgegen gesetzter Richtung

Es ist:

 

 und  mit

 

Die beiden Wege, objektiv gesehen

In diesem Beispiel ist es  natŸrlich einfach, sich die Relativbewegungen vorzustellen: Esau zum Beispiel bewegt sich aus der Sicht des Jakob mit doppelter Geschwindigkeit nach hinten.

Zur Kontrolle die Rechnung:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

Jakob sieht also auf seinem Radarschirm den Weg von Esau wie folgt.

Der Weg von Esau auf Jakobs Radar

Umgekehrt ist:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

Esau sieht also auf seinem Radarschirm den Jakob ebenfalls nach hinten abhauen:

Der Weg von Jakob auf Esaus Radar

3.2      Orthogonale geradlinige Wege

3.2.1    Gleiche Geschwindigkeiten

Es ist:

 

 und  mit

 

Die beiden Wege, objektiv gesehen

Auch hier lŠsst sich die Relativbewegung noch vorstellen. Der Koordinatenursprung geht nach hinten, der andere Bruder gleich schnell zur Seite. Zusammen gibt das eine Bewegung diagonal nach hinten.

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

Jakob sieht also auf seinem Radarschirm den Weg von Esau wie folgt.

Der Weg von Esau auf Jakobs Radar

Umgekehrt ist:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

Esau sieht also auf seinem Radarschirm den Weg des Jakob wie folgt.

Der Weg von Jakob auf Esaus Radar

3.2.2    Ungleiche Geschwindigkeiten

Es sei zum Beispiel:

 

 und  mit

 

Jakob bewegt sich doppelt so schnell wie Esau. Um das sichtbar zu machen, wird mit dem eingeschrŠnkten Parameterbereich  gearbeitet.

Die beiden Wege, objektiv gesehen

Es ist immer noch:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

Jakob sieht also auf seinem Radarschirm den Weg von Esau wie folgt.

Der Weg von Esau auf Jakobs Radar

Umgekehrt ist:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

Esau sieht also auf seinem Radarschirm den Weg des Jakob wie folgt.

Der Weg von Jakob auf Esaus Radar

Werden die beiden Bildschirme Ÿberlagert, erscheinen die beiden Wege orthogonal. Die Leserin ist eingeladen, sich die Situation fŸr ein beliebiges GeschwindigkeitsverhŠltnis vorzustellen.

3.3      Kreis und Gerade

Es ist:

 

 und  mit

 

Die beiden Wege, objektiv gesehen

Es ist dann:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

Jakob sieht auf seinem Radarschirm den Weg von Esau als Zykloide.

Der Weg von Esau auf Jakobs Radar ist eine Zykloide

Umgekehrt ist:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

Esau sieht also auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob als archimedische Spirale.

Der Weg von Jakob auf Esaus Radar als archimedische Spirale

3.3.1    Variante

Wir lassen die Gerade in die andere Richtung laufen, und zwar so, dass sich die beiden BrŸder wieder treffen. Es ist dann:

 

 und  mit

 

Die beiden Wege, objektiv gesehen

Es ist dann:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

 

Jakob sieht auf seinem Radarschirm den Weg von Esau wie folgt.

Der Weg von Esau auf Jakobs Radar

Umgekehrt ist:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

 

 

 

 

Esau sieht also auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob wie folgt.

Der Weg von Jakob auf Esaus Radar

Auf den beiden Radarschirmen erscheinen unterschiedliche Schlaufen. Der Unterschied erscheint noch dramatischer, wenn wir den Definitionsbereich vergrš§ern, etwa auf . Jakob sieht dann auf seinem Radarschirm den Weg von Esau eine Zykloide mit Schlingen.

Der Weg von Esau auf Jakobs Radar, grš§erer Definitionsbereich

Umgekehrt sieht Esau den Weg von Jakob immer noch als archimedische Spirale.

Der Weg von Jakob auf Esaus Radar ist eine archimedische Spirale

3.4      Kreis und Kreis

3.4.1    Gleicher Umlaufssinn, gleiches Tempo

Es ist:

 

 und  mit

 

Die Kreise werden beide im positiven Drehsinn durchlaufen, wie ein Verkehrskreisel.

Die beiden Wege, objektiv gesehen

ZunŠchst die †berlegung: Aus der Sicht von Jakob bewegt sich zunŠchst der Koordinatenursprung auf einem Kreis mit Radius 1. Die Lage von Esau ergibt sich aus der Lage von Jakob durch Punktspiegelung am Koordinatenursprung. Daher bewegt sich Esau aus der Sicht von Jakob auf einem Kreis mit Radius 2.

Nun die Rechnung:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

Jakob sieht auf seinem Radarschirm den Weg von Esau als Kreis.

Der Weg von Esau auf Jakobs Radar ist ein Kreis

Umgekehrt ist:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

 

 

Esau sieht auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob ebenfalls als Kreis. Das ist natŸrlich auch aus SymmetriegrŸnden klar.

Der Weg von Jakob auf Esaus Radar ist auch ein Kreis

Dieses Beispiel ist fŸr mich ein SchlŸsselbeispiel zum VerstŠndnis der RelativitŠtstheorie (wir sind ja im Einstein-Jahr). Stellen wir uns ein Universum vor, das nur die beiden ZwillingsbrŸder enthŠlt uns sonst nichts. Nun drehen sie ihre Kreise. Allerdings kann nun jeder der beiden sagen, aus seiner Sicht sei er stehen geblieben, und der andere habe eine Rundreise gemacht. Der andere hat also weniger gealtert. Somit ist jeder jŸnger als sein Zwillingsbruder. Das ist nun eine zusŠtzliche Schwierigkeit zum Problem der Erstgeburt. Where is the flaw?

Die Situation lŠsst sich auch mit Cabri-GŽomtre simulieren. Das folgende Bild zeigt eine statische Situation. Es gibt allerdings Probleme, da ich es nicht geschafft habe, mit orientierten Winkeln zu arbeiten.

Momentaufnahme

3.4.2    Gleicher Umlaufssinn, ungleiches Tempo

Der Jakob geht seinen Kreis doppelt so schnell. Die beiden feindlichen BrŸder treffen also erst nach dem zweiten Umlauf wieder im Koordinatenursprung zusammen.

 

 und  mit

 

Die beiden Wege, objektiv gesehen

Es ist nun:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

 

 

 

 

Jakob sieht auf seinem Radarschirm den Weg von Esau wie folgt.

Der Weg von Esau auf Jakobs Radar ist verschlungen

Umgekehrt ist imemr noch:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

 

 

Esau sieht auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob als Ellipse.

Der Weg von Jakob auf Esaus Radar ist eine Ellipse

3.4.3    Entgegen gesetzter Umlaufssinn

Es ist:

 

 und  mit

 

Jakob dreht seinen Kreis im negativen Umlaufssinn. 

Die beiden Wege, objektiv gesehen

Es ist dann:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

 

 

Jakob sieht auf seinem Radarschirm den Weg von Esau wie folgt.

Der Weg von Esau auf Jakobs Radar

Diese Kurve ist eine so genannt Rollkurve: wir lassen auf einem Kreis einen zweiten Kreis mit gleichem Radius abrollen und verfolgen den Weg eines Punktes auf der Peripherie dieses zweiten Kreises.

Rollkurve

FŸr diese Rollkurve gilt nŠmlich:

 

 

Umgekehrt ist:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

 

 

Esau sieht auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob spiegelbildlich.

Der Weg von Jakob auf Esaus Radar

3.5      Zwei Halbkreise

Es ist:

 

 und  mit

 

Die beiden Wege, objektiv gesehen

Es ist dann:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

 

 

Jakob sieht auf seinem Radarschirm den Weg von Esau als Kreis.

Der Weg von Esau auf Jakobs Radar ist ein Kreis

Umgekehrt ist:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

 

 

Esau sieht auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob ebenfalls als Kreis. Das ist natŸrlich aus SymmetriegrŸnden klar.

Der Weg von Jakob auf Esaus Radar ist auch ein Kreis

3.6      Zwei Viertelskreise

Es ist:

 

 und  mit

 

Die beiden Wege, objektiv gesehen

Es ist dann:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jakob sieht auf seinem Radarschirm den Weg von Esau als Schlaufe.

Der Weg von Esau auf Jakobs Radar ist eine Schlaufe

Umgekehrt ist:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Esau sieht auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob ebenfalls als Schlaufe. Das ist natŸrlich aus SymmetriegrŸnden klar.

Der Weg von Jakob auf Esaus Radar ist auch eine Schlaufe

3.6.1    Variante

Wir Šndern den Parameterbereich, so dass zwei Kreise entstehen. Die Rechnungen bleiben unverŠndert. Es ist also:

 

 und  mit

 

Die beiden Wege, objektiv gesehen

Der Weg von Esau auf Jakobs Radar

Was fŸr eine Kurve ist das?

Der Weg von Jakob auf Esaus Radar

3.7      Zwei Sinuskurven

Es ist:

 

 und  mit

 

Die beiden Wege, objektiv gesehen

Es ist dann:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

 

 

 

Jakob sieht auf seinem Radarschirm den Weg von Esau als Achterkurve.

Der Weg von Esau auf Jakobs Radar ist eine Achterkurve

Bemerkung: Bei dieser Achterkurve handelt es sich nicht um eine Lemniskate.

Umgekehrt ist:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

 

 

Esau sieht auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob ebenfalls als Achterkurve. Das ist natŸrlich aus SymmetriegrŸnden klar.

Der Weg von Jakob auf Esaus Radar ist auch eine Achterkurve

3.8      Sinuskurve und Gerade

Es ist:

 

 und  mit

 

Die beiden Wege, objektiv gesehen

Es ist dann:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

 

 

Jakob sieht auf seinem Radarschirm den Esau hin und her pendeln. 

Der Weg von Esau auf Jakobs Radar

Umgekehrt ist:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

 

 

Esau sieht auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob als Achterkurve, bis auf Streckung dieselbe Kurve wie bei zwei Sinuskurven.

Der Weg von Jakob auf Esaus Radar ist eine Achterkurve

3.9      Zwei Parabeln

Es ist:

 

 und  mit

 

Die beiden Wege, objektiv gesehen

Es ist dann:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

 

 

 

Jakob sieht auf seinem Radarschirm den Weg von Esau wie folgt. Es handelt sich um eine nicht symmetrische Schlaufe.

Der Weg von Esau auf Jakobs Radar

Wenn wir den Parameterbereich auf  vergrš§ern, erhalten wir folgendes Bild.

Vergrš§erter Parameterbereich

Umgekehrt ist:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

 

 

 

Esau sieht auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob ebenfalls als Schlaufe. Das ist natŸrlich aus SymmetriegrŸnden klar.

Der Weg von Jakob auf Esaus Radar ist auch eine Schlaufe

3.10  Archimedische Spirale und Gerade

Es ist:

 

 und  mit

 

Die beiden Wege, objektiv gesehen

Es ist dann:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

 

 

 

Jakob sieht auf seinem Radarschirm den Weg von Esau wie folgt. Esau ist immer im RŸcken von Jakob. Ein unangenehmes GefŸhl.

Der Weg von Esau auf Jakobs Radar

Umgekehrt ist:

 

 

 

 

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Esau sieht auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob immer auf der linken Seite.

Der Weg von Jakob auf Esaus Radar

 

 

Literatur

[Mann 1933]              Mann, Thomas: Joseph und seine BrŸder. Der erste Roman: Die Geschichten Jaakobs. Berlin: S. Fischer Verlag, 1933