Hans Walser, [20170424]
Erdbilder
Es wird ein Modell besprochen (Abb. 1). Geodaten aus [1].
Abb. 1: Modell
Abb. 2: Orthografische Projektionen
Die Abbildung 2a zeigt die Erdkugel in verschiedenen orthografischen Projektionen. Das Bild im Kreuzungspunkt zeigt die Erde von vorne. Dabei ist ãvorneÒ eurozentrisch gedacht (Nullmeridian und €quator als Mittellinien). Links und rechts davon die Erde ebenfalls von links beziehungsweise rechts, oben der Nordpol, unter dem Kreuzungspunkt der SŸdpol und ganz zuunterst die Erde ãvon hintenÒ (Pazifik, aber ãauf dem KopfÒ).
Die Anordnung der Projektionen in der Abbildung 2a (ãlateinisches KreuzÒ) lŠsst an ein WŸrfelnetz denken (Abb. 2b). Im Anhang eine grš§ere Version als Bastelvorlage.
In jeder Frontalansicht sehen wir eine orthografische Projektion der Erdkugel. Die Anordnung auf der WŸrfeloberflŠche entspricht den Ansichten, die eine in einen GlaswŸrfel eingegossene Erdkugel ergŠbe.
Die Abbildung 2b zeigt allerdings bei weitem nicht die einzige Lšsung. Die Abbildung 3 zeigt andere konsistente Belegungen mit orthografischen Projektionen.
Abb. 3: Andere Belegungen
NatŸrlich stellt sich nun die kombinatorische Frage, wie viele Belegungen mit orthografischen Projektionen im lateinischen Kreuz mšglich sind. Nun, eine bestimmte Projektion zum Beispiel die Sicht auf den Nordpol kann auf jedem der sechs Felder des Kreuzes abgelegt werden. Die Projektion kann dann allerdings noch um Vielfache von 90¡ gedreht werden, also vier Mšglichkeiten im selben Feld. Somit haben wir insgesamt 24 Mšglichkeiten, die Sicht auf den Nordpol zu platzieren. Die anderen 5 Projektionen kšnnen dann allerdings nur noch auf eine Art konsistent platziert werden.
Mit einem Set von 6 orthografischen Projektionen (Abb. 4) kšnnen konsistente Anordnungen ausprobiert werden. Im Anhang das Set in grš§erem Format.
Abb. 4: Ausschneiden und ausprobieren
Nun gibt es aber 21 verschiedene WŸrfelnetze [2]. Die Abbildung 5 gibt eine schematische †bersicht. Die meisten Beispiele kommen in spiegelbildlichen Versionen vor.
Abb. 5: WŸrfelnetze
Die Abbildung 6 gibt einige falsche Beispiele. Die mit gleicher Farbe markierten Quadrate kŠmen aufeinander zu liegen. Anderswo hŠtten wir dann fehlende Quadrate.
Abb. 6: Falsche Beispiele
Einige der Beispiele der Abbildung 5 sind ihrerseits punktsymmetrisch. Bei diesen Beispielen (vgl. Abb. 7) gibt es nur 12 Belegungen mit orthografischen Projektionen, da je zwei Belegungen zu identischen Schnittmustern fŸhren (von den Klebefalzen abgesehen).
Abb. 7: Gleich oder verschieden?
Die Abbildung 8 zeigt ein Beispiel, wo es mit den Klebefalzen nicht klappt. Die gelb markierten Klebefalze kommen sich in die Quere. An den lila markierten Kanten fehlt der Klebefalz.
Abb. 8: Probleme mit den Klebfalzen
In einem Schnittmuster ist die Anzahl der Au§enkanten gerade. Dies kann mit einem destruktiven Verfahren eingesehen werden. Wenn wir bei einem fertigen Modell eine Kante aufschneiden, entstehen zwei Au§enkanten.
Ein sicheres Verfahren zur Platzierung der Klebefalze besteht darin, an jeder zweiten Au§enkante einen Klebefalz anzubringen.
Das Modell der Abbildung 1 wurde nicht geklebt, sondern aus drei Streifen der Abbildung 9 geflochten. Im Anhang die Streifen in grš§erem Format.
Abb. 9: Drei Streifen
Beim Flechten des Modells muss natŸrlich wieder auf Konsistenz der Projektionen geachtet werden.
Das Flechtmodell hat gegenŸber dem Klebemodell einige Vorteile. Es muss nicht mit Leim oder Klebestoff gearbeitet werden. Die Modelle sind (wenigstens im Prinzip) reversibel und kšnnen fŸr Transport und Lagerung wieder auseinander genommen werden. Bei einiger †bung lassen sie sich auch schneller und prŠziser herstellen als Klebemodelle.
Die meisten Orte der ErdoberflŠche erscheinen auf der OberflŠche unseres Modells mehrfach, in der Regel dreifach. Das Schwarze Meer sehen wir auf den Seiten ãvorneÒ, ãrechtsÒ und ãobenÒ (Abb. 10a). London, auf dem Nullmeridian gelegen, wird auf vier Seiten sichtbar, der Nordpol auf fŸnf Seiten und Teile des €quators gar auf allen sechs Seiten, allerdings ãobenÒ und ãuntenÒ im wšrtlichen Sinne nur peripher und auf den Ÿbrigen Seiten nur je zur HŠlfte.
Abb. 10: Sicht Ÿber Eck
Unser Modell entspricht also nicht der Vorstellung der in den transparenten WŸrfel eingegossenen Erdkugel (Abb. 10b).
Die Abbildung 11 zeigt die sechs orthografischen Projektionen rund um die Kugel. Die Projektionen ãuntenÒ, ãhintenÒ und ãlinksÒ werden jetzt von innen gesehen. Sie erscheinen daher spiegelbildlich.
Abb. 11: Projektionen
Weitere Beispiele zur Kombination von Erdkugel und WŸrfel siehe [3] und [4].
Websites
[1] ETH ZŸrich. Institut fŸr Kartografie und Geoinformation. Kartenprojektionen (25.04.2017):
http://swai.ethz.ch/swaie/MapProjector/MapProjector.de.html
[2] Hans Walser: WŸrfelabwicklungen (25.04.2017):
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelabwicklungen/Wuerfelabwicklungen.htm
[3] Hans Walser: WŸrfelwelten (25.04.2017):
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelwelten/Wuerfelwelten.htm
[4] Hans Walser: Origami-WŸrfelwelt (25.04.2017):
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Origami-Wuerfelwelt/Origami-Wuerfelwelt.htm
Anhang