Hans Walser, [20240303]

Einmaleins

Idee und Anregung: Zvonimir Durcevic, Wien

1 Worum es geht

Spielerei mit Schachfiguren in der Multiplikationstabelle.

2 Multiplikationstabelle

Die Abbildung 1 zeigt die Multiplikationstabelle von 1 bis 8 in ein 8×8-Schachbrett eingepasst.

Abb. 1: Kleines Einmaleins

3 Rösselsprung

Wir setzen einen Springer auf ein Feld, das nicht zu nahe am Rand ist (Rösslein am Rand ist eine Schand). Im Beispiel der Abbildung 2 steht der Springer auf einem Feld mit der Zahl 12.

Abb. 12: Springer auf Platz mit der Zahl 12

Wir markieren nun (rot in Abb. 3) alle Felder, auf welche der Springer in einem Sprung springen kann.

Abb. 3: Wohin der Springer springen kann

Die Summe der Zahlen in den roten Feldern ist:

3 + 5 + 12 + 24 + 25 + 15 + 8 + 4 = 96 = 8*12

Der Durchschnitt (arithmetisches Mittel) dieser Zahlen ist 12 und damit die Startzahl des Springers.

4 Allgemein

Entsprechend gilt allgemein: Falls der Springer mindestens 2 Felder vom Rand entfernt ist, ergibt sich für den Durchschnitt der in einem Sprung erreichbaren Zahlen die Startzahl.

5 Beweis

Die Startzahl sei das Produkt a*b.

Für die erreichbaren Zahlen gilt die Summe:

(a – 1)*(b – 2) + (a + 1)*(b – 2) + (a + 2)*(b – 1) + (a + 2)*(b + 1) + (a + 1)*(b + 2) + (a – 1)*(b + 2) + (a – 2)*(b + 1) + (a – 2)*(b – 1) = 8*a*b

Der Durchschnitt ist also die Startzahl a*b.

6 Zahlengymnastik mit Hanteln

Wir können uns die Rechnung sparen mit einer Gewichtsüberlegung.

Dazu fassen wir zunächst zwei mittelbar in einer Zeile liegende Zahlen mit einer Hantel zusammen (Abb. 4).

Abb. 4: Hanteln

Die Zahl in der Mitte der Verbindungsstange ist der Durchschnitt der beiden Zahlen in den Gewichtskugeln. Dies darum, weil die Zahlen einer Zeile immer um gleich viel zunehmen (arithmetische Folge (erster Ordnung )).

Wir fassen nun die beiden Durchschnitte mit einer senkrecht liegenden Hantel zusammen (Abb. 5). Die Startzahl des Springers ist also der Durchschnitt der vier nach oben und unten erreichbaren Zahlen.

Abb. 5: Verbindungshantel

Analog können wir mit den nach links und rechts erreichbaren Zahlen verfahren (Abb. 6). Die Startzahl des Springers ist der Durchschnitt der damit erreichbaren Zahlen.

Abb. 6: Weitere Hanteln

Insgesamt folgt, dass die Startzahl des Springers der Durchschnitt der acht erreichbaren Zahlen ist (Abb. 7).

Abb. 7: Durchschnitt

7 Andere Schachfiguren

Gibt es andere Schachfiguren mit einer entsprechenden Eigenschaft?

7.1 Einschränkung des Schachbrettes

Wir schränken das Spielbrett ein auf das Quadrat, in welchem sich die durch den Springer erreichbaren Felder befinden (lila in Abb. 8).

Abb. 8: Einschränkung des Spielfeldes

7.2 Turm

Für die durch einen Turm erreichbaren Felder (gelb in Abb. 9) erhalten wir die Summe 6+9+15+18+4+8+16+20 = 96 = 8*12. Der Durchschnitt ist also wiederum die Zahl im Ausgangsfeld. Für den Beweis benützen wir, dass wir in den Spalten und Zeilen arithmetische Folgen erster Ordnung haben. Die Durchschnittseigenschaft ist unabhängig vom Ausgangsfeld.

Abb. 9: Turm

7.3 Läufer

Für die durch einen Läufer erreichbaren Felder (hellblau in Abb. 10) erhalten wir die Summe 2+6+20+30+10+12+10+6 = 96 = 8*12. Der Durchschnitt ist also wiederum die Zahl im Ausgangsfeld.

Die Zahlen in den diagonalen Folgen bilden aber keine arithmetischen Folgen erster Ordnung mehr, sondern arithmetische Folgen zweiter Ordnung (quadratisches Bildungsgesetz).

Für den Beweis der Durchschnittseigenschaft können wir mit der Hantel-Methode arbeiten. Die Durchschnittseigenschaft ist unabhängig vom Ausgangsfeld.

Abb. 10: Läufer

7.4 Dame

Die Dame kann die gelben und die hellblauen Felder der Abbildung 10 erreichen. Für die Summe erhalten wir daher 192 = 16*12. Der Durchschnitt ist wiederum die Zahl im Ausgangsfeld.

Bemerkenswert ist, dass in unserem eingeschränkten Spielfeld die vom Springer und die von der Dame erreichbaren Felder disjunkt sind. Der Springer kann genau diejenigen Felder erreichen, welche die Dame nicht erreichen kann, und umgekehrt.

7.5 König

Die Durchschnittseigenschaft gilt auch für den König (gold in Abb. 11). Beweis mit der Hantel-Methode.

Abb. 11: König

8 Ausdehnung des Schachbrettes

Wir können die Multiplikationstabelle und damit das Schachbrett in jeder Richtung beliebig ausdehnen (Abb. 12). Wenn wir nach links oder nach oben ausdehnen, müssen wir mit negativen Zahlen rechnen.

Abb. 12: Ausdehnung des Schachbrettes

Auch hier gilt die Durchschnittseigenschaft für den Springer (Abb. 13), wie man leicht nachrechnet.

Abb. 13: Springer

Weblink

Hans Walser: Einmaleins

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Einmaleins/Einmaleins.html