Hans Walser, [20190602]

Eddy

1   Worum geht es?

Ein Satz von Eddy gibt Anlass zu einer Invarianz von FlŠchenquadratsummen. Formal ist es eine Analogie zum Satz von Pythagoras, spielt aber im vierdimensionalen Raum.

2   Der Satz von Eddy

Die Halbierende des rechten Winkels im rechtwinkligen Dreieck zerlegt das Hypotenusenquadrat in zwei kongruente Teile (Abb. 1).

Abb. 1: Der Satz von Eddy

3   Der elegante Beweis

Abb. 2: Beweis ohne Worte

4   Der weniger elegante Beweis

ZunŠchst erinnern wir uns an folgenden Sachverhalt. In einem (beliebigen) Dreieck halbieren die Winkelhalbierenden je den Umkreisbogen źber der Gegenseite (Abb. 3). Zu halben Winkel gehšren halbe Peripheriebšgen.

Abb. 3: Winkelhalbierende halbieren die Umkreisbšgen

In unserem Sonderfall des rechtwinkligen Dreiecks ist der Umkreis der Thaleskreis. Der Mittelpunkt des Bogens źber (anschaulich: ăunterŇ) der Hypotenuse ist auch der Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates (Abb. 4). Eine Gerade durch den Quadratmittelpunkt zerlegt das Quadrat in zwei kongruente Teile.

Abb. 4: Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates

Damit ist der Satz von Eddy bewiesen.

Man beachte, dass die Bogenmitten źber den Katheten nicht die Mittelpunkte der Kathetenquadrate sind.

5   Die Šu§ere Winkelhalbierende

Die Šu§ere Winkelhalbierende des rechten Winkels halbiert die beiden Kathetenquadrate. Damit ergibt sich eine lustige Version des Satzes von Pythagoras (Abb. 5).

Abb. 5: Blau = rot

6   Schnitt mit dem Thaleskreis

Die Šu§ere Winkelhalbierende des rechten Winkels schneidet den Thaleskreis in einem Punkt im inneren des grš§eren Kathetenquadrates (Abb. 6).

Abb. 6: Schnitt mit Thaleskreis

Dieser Punkt liegt auf der Mittelsenkrechten der Hypotenuse und gibt Anlass zu einem zweiten rechtwinkligen Dreieck (hellblau in Abb. 6).

7   Der FlŠchensatz

Wir bezeichnen mit r den Radius des Thaleskreises.  und  seien die FlŠcheninhalte der beiden rechtwinkligen Dreiecke.

Es gilt:

 

                                                                                                 (1)

 

Die Formel (1) erinnert an den Satz von Pythagoras, spielt aber in der Dimension vier. Daher kann die Situation nicht zweidimensional illustriert werden. Es gibt daher auch keinen Zerlegungsbeweis.

8   Beweis des FlŠchensatzes

Wir arbeiten mit dem in der Abbildung 7 eigezeichneten Winkel t.

Abb. 7: Beweisfigur

Das gelbe Dreieck hat die HypotenusenlŠnge 2r und die dazu senkrechte Hšhe . Daher ist:

 

                                                                                                         (2)

 

Analog:

 

                                                                                                 (3)

 

Durch Quadrieren und Addieren von (2) und (3) ergibt sich (1).

 

Literatur

Zeuge, Wolfgang (2018): Nźtzliche und schšne Geometrie. Eine etwas andere Einfźhrung in die Euklidische Geometrie. Springer Spektrum. ISBN 978-3-658-22832-3